Steinberg 自同态

约定. 在本文中,

• $p$ 是素数, $\mathbb{F}$ 是 ${\mathbb{F}}_p$ 的代数闭包.

Steinberg 自同态是有限域代数闭包上连通代数群的一种自同态, 是几何 Frobenius 态射的推广. 它是 Lie 型有限群理论中的基本概念, 因为 Lie 型有限群就是由约化群的 Steinberg 自同态取不动点得到的.

1定义

定义 1.1 (几何 Frobenius 自同态). 设 $X$ 是 $\mathbb{F}$ 上有限型概形. 则 $X$ 必然定义在某个有限域 ${\mathbb{F}}_q$ 上. $X$ 的一个几何 Frobenius 自同态指其某个下降 $X_0/{\mathbb{F}}_q$ 的 $q$ 次方 Frobenius 自同态, 基变换回 $X/\mathbb{F}$.

定义 1.2 (Steinberg 自同态). 设 $G$ 是 $\mathbb{F}$ 上代数群, $F$ 是 $G$ 的自同态. 如 $F$ 的某个幂次是某个几何 Frobenius 自同态, 则称 $F$ 为 Steinberg 自同态.

2性质

最重要的性质是以下 Lang 定理及其推论, 证明参见条目 Lang 定理.

定理 2.1 (Lang, Steinberg). 设 $G$ 是 $\mathbb{F}$ 上光滑连通代数群, $F$ 是 $G$ 的 Steinberg 自同态, 以 $G^F$ 记 $G(\mathbb{F})$ 中 $F$-不动点构成的子群. 考虑 Lang 映射 ${\mathrm{Lang}}_F:G\to G$, 定义为 ${\mathrm{Lang}}_F(g)=F(g)g^{-1}$. 则 ${\mathrm{Lang}}_F$ 是满射, 且诱导同构 $G/G^F\cong G$, 换言之 ${\mathrm{Lang}}_F$ 把 $G$ 表示成自身的 $G^F$-主丛.

推论 2.2. 记号与条件承定理 2.1, 并设 $G$ 是仿射代数群. 则存在被 $F$ 保持的极大环面与 Borel 子群 $T\subseteq B\subseteq G$.

注 2.3. 另一个 Lang 映射 $g\mapsto g^{-1}F(g)$ 也有类似的定理, 它诱导同构 $G^F\backslash G\cong G$.

下面是个有趣的结论.

定理 2.4 (Steinberg 双歧性). 设 $G$ 是 $\mathbb{F}$ 上的单代数群, $F$ 是其非平凡自同态. 则以下两件事中恰有一个发生:

1.	$F$ 是自同构, 且有无穷多个不动点.
2.	$F$ 是 Steinberg 自同态, 只有有限个不动点.

3分类

设 $G$ 是 $\mathbb{F}$ 上约化群 (特别地它连通), $F$ 是其 Steinberg 自同态.

4相关概念

术语翻译

Steinberg 自同态 • 英文 Steinberg endomorphism