除子

在代数几何中, 除子是指概形中余维数为 $1$ 的闭子概形, 以及这些闭子概形的线性组合. 也就是说, 概形 $X$ 上的除子形如$$D=a_1{Z}_1+\cdots +a_n{Z}_n,$$其中 $a_i\in \mathbb{Z}$, 且每个 $Z_i\subset X$ 是余维数为 $1$ 的闭子概形.

除子的概念与代数线丛, 或者说可逆层, 密切相关. 大致地说, 给定上述除子 $D$, 则可定义 $X$ 上的可逆层 $\mathcal{O}(D)$, 其在开集 $U\subset X$ 上的截面是 $U$ 上的有理函数 $f$, 允许沿 $Z_i$ 有至多 $a_i$ 重极点, 但当 $a_i<0$ 时, 则要求 $f$ 沿 $Z_i$ 有至少 $-a_i$ 重零点. 根据这一描述, 直观来看, 各 $a_i$ 的值越大, 则除子 $D$ 越正, $\mathcal{O}(D)$ 也就有越多的截面, 我们也说 $\mathcal{O}(D)$ 对应的代数线丛越正.

通过上述两种观点, 可以对除子给出两种定义, 分别称为 Weil 除子和 Cartier 除子. 这两种除子的概念具有细微的差异, 但在某些较好的情况下, 例如对于光滑簇而言, 两种除子的概念是等价的.

可以对除子定义一种等价关系, 称为有理等价. 称除子 $D$ 与 $D^{\prime }$ 有理等价, 是说相应的线丛 $\mathcal{O}(D)$ 与 $\mathcal{O}(D^{\prime })$ 同构. 此时, 在上面的描述下, 可以通过乘以 $X$ 上某个固定的有理函数, 而将 $\mathcal{O}(D)$ 的局部截面转换为 $\mathcal{O}(D^{\prime })$ 的局部截面. 除子的有理等价类构成除子类群, 它在较好的情况下同构于 $X$ 的 Picard 群.

除子的概念可以推广到余维数不为 $1$ 的情况, 称为代数圈. 代数圈的等价类构成的群称为周群.

1定义

Weil 除子

首先回忆, 对拓扑空间 $X$ 及不可约闭子空间 $Z\subset X$, $Z$ 在 $X$ 中的余维数是形如$$Z=Z_0\subset \cdots \subset Z_n\subset X$$的链的最大长度 $n$, 其中各 $Z_i\subset X$ 是不可约闭子空间, 且 $Z_i\ne Z_{i+1}$.

以下若干定义来自 [Stacks, 0BE0].

定义 1.1 (Weil 除子). 设 $X$ 是局部 Noether 概形.

•	$X$ 的素除子是指余维数为 $1$ 且整的闭子概形 $Z\subset X$.

•	$X$ 的 Weil 除子是指形如$$D=\sum _{\text{素除子 }Z}{a}_{Z}Z$$的和式, 其中满足 $a_Z\ne 0$ 的那些 $Z$ 在 $X$ 中是局部有限的. 特别地, 若 $X$ 是 Noether 概形, 则只能有有限个 $a_Z$ 非零. $X$ 的所有 Weil 除子关于加法构成 Abel 群, 记为 $\mathrm{Div}(X)$.

定义 1.2 (零点重数). 设 $X$ 是局部 Noether 整概形. 记 ${\mathcal{M}}_X$ 为 $X$ 的有理函数层, $R(X)={\mathcal{M}}_X(X)$ 为 $X$ 的有理函数域. 记 $R(X{)}^{\times }=R(X)\setminus \{0\}$ 为该域的乘法群.

设 $Z\subset X$ 为素除子 (定义 1.1), 记 $\xi \in X$ 为 $Z$ 的一般点. 将茎 ${\mathcal{O}}_{X,\xi }$ 视为 $R(X)$ 的子环, 则后者是前者的分式域.

•	对 $f\in {\mathcal{O}}_{X,\xi }$, 定义 $f$ 沿 $Z$ 的零点重数为自然数$${\mathrm{ord}}_Z(f)=\mathrm{length}{\mathcal{O}}_{X,\xi }/(f),$$其中 $\xi$ 是 $Z$ 的一般点, 右边表示 ${\mathcal{O}}_{X,\xi }$-模 ${\mathcal{O}}_{X,\xi }/(f)$ 的长度.

•	对一般的元素 $f/g\in R(X{)}^{\times }$, 其中 $f,g\in {\mathcal{O}}_{X,\xi }\setminus \{0\}$, 定义其沿 $Z$ 的零点重数为整数$${\mathrm{ord}}_Z(f/g)={\mathrm{ord}}_Z(f)-{\mathrm{ord}}_Z(g).$$

我们得到群同态 ${\mathrm{ord}}_Z:R(X{)}^{\times }\to \mathbb{Z}$, 即对任何 $f,g\in R(X{)}^{\times }$, 有$${\mathrm{ord}}_Z(fg)={\mathrm{ord}}_Z(f)+{\mathrm{ord}}_Z(g).$$

定义 1.3 (Weil 除子类群). 设 $X$ 是局部 Noether 整概形, $R(X)$ 为 $X$ 的有理函数域.

•	对 $f\in R(X{)}^{\times }$, 定义 $f$ 的主除子为 Weil 除子$$\mathrm{div}(f)=\sum _{\text{素除子 }Z}{\mathrm{ord}}_Z(f)\cdot Z.$$ 我们得到群同态 $\mathrm{div}:R(X{)}^{\times }\to \mathrm{Div}(X)$, 即满足 $\mathrm{div}(fg)=\mathrm{div}(f)+\mathrm{div}(g)$.

•	称 Weil 除子 $D,D^{\prime }\in \mathrm{Div}(X)$ 有理等价, 若存在 $f\in R(X{)}^{\times }$ 使得 $D-D^{\prime }=\mathrm{div}(f)$.

•	定义 $X$ 的 Weil 除子类群为商群$$\mathrm{Cl}(X)=\frac{\mathrm{Div}(X)}{\mathrm{im}(\mathrm{div})},$$即 Weil 除子的有理等价类构成的群.

Cartier 除子

2参考文献

•	The Stacks project.

3相关概念

术语翻译

除子 • 英文 divisor • 德文 Divisor (m) • 法文 diviseur (m) • 日文 因子 (いんし)

Weil 除子 • 英文 Weil divisor • 德文 Weil-Divisor (m) • 法文 diviseur de Weil (m) • 日文 Weil 因子

Cartier 除子 • 英文 Cartier divisor • 德文 Cartier-Divisor (m) • 法文 diviseur de Cartier (m) • 日文 Cartier 因子