秩 (线性代数)

关于其它含义, 请参见 “秩”.

在线性代数中, 线性映射的秩是指其像的维数, 是对线性映射的大小的刻画.

对向量组、矩阵而言, 也有非常类似的秩的概念.

1定义

对线性映射

定义 1.1. 设 $k$ 为域, $V,W$ 为有限维 $k$-向量空间. 则线性映射 $f:V\to W$ 的秩定义为: $$\mathrm{rank}f=\dim \mathrm{im}f,$$即映射 $f$ 的像 $\mathrm{im}f$ 的维数.

由定义, 我们总有$$\mathrm{rank}f\le \min \{\dim V,\dim W\}.$$若等号成立, 则称 $f$ 满秩. 此时, 若 $\dim V\le \dim W$, 则 $f$ 是单射; 若 $\dim V\ge \dim W$, 则 $f$ 是满射.

对向量组

定义 1.2. 设 $k$ 为域, $V$ 为有限维 $k$-向量空间. 则 $V$ 中一组向量 $(v_1,\dots ,v_k)$ 的秩定义为: $$\mathrm{rank}\{v_1,\dots ,v_k\}=\dim \mathrm{span}\{v_1,\dots ,v_k\},$$即这组向量的张成空间 $\mathrm{span}\{v_1,\dots ,v_k\}$ 的维数. 这也等于这组向量中任一极大线性无关子集中的向量个数.

对矩阵

定义 1.3. 设 $k$ 为域, $A$ 为 $k$ 上的 $m\times n$ 矩阵. 则 $A$ 的秩定义为它所代表的线性映射 $k^n\to k^m$ 的秩.

矩阵 $A$ 的秩也有以下等价定义:

•	行秩: 矩阵行向量组的秩, 即 $A$ 的每行视为 $k^n$ 中向量, 得到的具有 $m$ 个向量的向量组的秩.

•	列秩: 矩阵列向量组的秩, 即 $A$ 的每列视为 $k^m$ 中向量, 得到的具有 $n$ 个向量的向量组的秩.

•	$A$ 中非零子式的最大阶数.

2性质

•	对域 $k$ 上的 $n\times n$ 方阵 $A$, 其秩为 $n$ 等价于其可逆, 也等价于其行列式不为 $0$.

•	对域 $k$ 上的矩阵 $A,B$, 有以下矩阵运算关系: ∘ $\mathrm{rank}(A+B)\le \mathrm{rank}A+\mathrm{rank}B$. ∘ $\mathrm{rank}(AB)\le \min \{\mathrm{rank}A,\mathrm{rank}B\}$. ∘ 若 $P,Q$ 可逆, 则 $\mathrm{rank}(PAQ)=\mathrm{rank}A$.

•	秩-零度定理: 对有限维向量空间之间的线性映射 $f:V\to W$, 有$$\mathrm{rank}f+\dim \ker f=\dim V.$$换言之, $f$ 的秩等于其出发空间的维数减去其丢失的维数.

3相关概念

术语翻译

秩 • 英文 rank • 德文 Rang (m) • 法文 rang (m)