迹

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在线性代数中, $n\times n$ 方阵 $A=(a_{i,j})$ 的迹是指其对角线上所有元素之和, 即$$\mathrm{tr}A=a_{1,1}+\cdots +a_{n,n}.$$相似矩阵具有相同的迹, 因此, 将方阵视为有限维向量空间上的线性变换, 则迹也可以视为这样的线性变换的性质. 事实上, 线性变换的迹给出了其所有特征值之和.

1定义

方阵的迹

定义 1.1. 设 $k$ 是环, $n$ 是自然数, $A=(a_{i,j})$ 是 $k$ 上的 $n\times n$ 方阵. 则 $A$ 的迹定义为$$\mathrm{tr}A=a_{1,1}+\cdots +a_{n,n}.$$

线性变换的迹

定义 1.2. 设 $k$ 是域, $V$ 是 $k$-向量空间, $f:V\to V$ 是线性变换. 则 $f$ 的迹定义为 $f$ 的特征多项式 $\det (t\cdot 1_V-f)$ 中 $t^{n-1}$ 的系数的相反数, 其中 $n=\dim V$.

2性质

定理 2.1. 设 $k$ 是交换环. 设 $A$, $B$ 是 $k$ 上的 $n\times n$ 方阵. 设 $C$, $D$ 分别是 $k$ 上的 $m\times n$ 阵与 $n\times m$ 阵. 设 $s$, $t\in k$. 则

•	$\mathrm{tr}(CD)=\mathrm{tr}(DC)$.
•	$\mathrm{tr}(sA+tB)=s\mathrm{tr}(A)+t\mathrm{tr}(B)$.
•	$\mathrm{tr}(A)=\mathrm{tr}(A^{\mathrm{t}})$, 其中 $A^{\mathrm{t}}$ 是 $A$ 的转置.

定理 2.2. 设 $k$ 是交换环. 设 $k$ 上的所有的 $n\times n$ 方阵作成集 $M$. 设 $f:M\to k$. 设对任何 $A$, $B\in M$ 与 $s$, $t\in k$, 有:

•	$f(AB)=f(BA)$.
•	$f(sA+tB)=sf(A)+tf(B)$.

则存在 $c\in k$, 使对任何 $A\in M$, 必 $f(A)=c\mathrm{tr}(A)$. 进一步地, $c=f(E_{1,1})$, 其中 $E_{1,1}$ 是这样的 $n\times n$ 方阵: $(1,1)$-元是 $1$, 且其他的元都是 $0$.

3相关概念

术语翻译

迹 • 英文 trace • 德文 Spur (f) • 世界语 spuro • 法文 trace (f) • 日文 トレース • 韩文 대각합 (對角合)