核 2-范畴

约定. 在本文中,

• 范畴均指 $(\infty ,1)$-范畴.
• $2$-范畴均指通过充实 $(\infty ,1)$-范畴得到的 $(\infty ,2)$-范畴.

核 $2$-范畴, 指六函子理论中模仿 Fourier 变换中核的概念所给出的 $2$-范畴.

1定义

定义 1.1. 令 $(\mathcal{C},E)$ 为几何设定, $\mathsf{D}:\mathsf{Span}(\mathcal{C},E)\to \mathsf{Cat}$ 为三函子理论.

•

若 $E$ 包含 $\mathcal{C}$ 中所有态射, 则定义 $\mathsf{D}$ 的核 $2$-范畴为$${\mathsf{K}}_{\mathsf{D}}:={\tau }_{\mathsf{D}}(\mathsf{Span}(\mathcal{C}))\in {\mathsf{Cat}}_2.$$此处 ${\tau }_{\mathsf{D}}:{\mathsf{Cat}}_{\mathsf{Span}(\mathcal{C})}\to {\mathsf{Cat}}_{\mathsf{Cat}}={\mathsf{Cat}}_2$ 将 $\mathsf{Span}(\mathcal{C})$-充实范畴转为 $\mathsf{Cat}$-充实范畴;

•

对于一般的几何设定 $(\mathcal{C},E)$ 以及对象 $S\in \mathcal{C}$, 考虑几何设定 $(({\mathcal{C}}_E{)}_{/S},全体态射)$, 将 $\mathsf{D}$ 沿 $\mathsf{Span}(({\mathcal{C}}_E{)}_{/S})\to \mathsf{Span}(\mathcal{C},E)$ 进行限制得到 $(({\mathcal{C}}_E{)}_{/S},全体态射)$ 上的三函子理论 ${\mathsf{D}}_S$. $\mathsf{D}$ 在 $S$ 上的核 $2$-范畴是指$${\mathsf{K}}_{\mathsf{D},S}:={\mathsf{K}}_{{\mathsf{D}}_S}\in {\mathsf{Cat}}_2.$$常滥用符号将 ${\mathsf{K}}_{\mathsf{D},\mathsf{S}}$ 中态射范畴记为 ${\mathsf{Fun}}_S(-,-)$.

具体而言, 对于几何设定 $(\mathcal{C},E)$ 以及其内对象 $S$, $\mathsf{D}$ 在 $S$ 上的核 $2$-范畴 ${\mathsf{K}}_{\mathsf{D},S}$ 可被描述为以下 $2$-范畴:

•	其对象为 $E$ 中态射 $X\to S$, 常简写为 $X$;
•	给定 $X,Y\in {\mathsf{K}}_{\mathsf{D},S}$, 则同态范畴$${\mathsf{Fun}}_S(Y,X)=\mathsf{D}(X{\times }_{S}Y)=\mathsf{D}({\underline{\mathrm{Hom}}}_{\mathsf{Span}(({\mathcal{C}}_E{)}_{/S})}(Y,X)).$$
•	给定 $X,Y,Z\in {\mathsf{K}}_{\mathsf{D},S}$ 以及 ${\mathsf{K}}_{\mathsf{D},S}$ 中态射 $M:Y\to X$, $N:Z\to Y$, 则复合 $M\circ N$ 由下式给出$$M\circ N={\pi }_{13!}({\pi }_{12}^{\ast }M\otimes {\pi }_{23}^{\ast }N),$$此处 ${\pi }_{ij}$ 是 $X{\times }_{S}Y{\times }_{S}Z$ 上的投影态射.

2性质

以下固定几何设定 $(\mathcal{C},E)$ 及其上三函子理论 $\mathsf{D}$.

命题 2.1. 对每个对象 $S\in \mathcal{C}$, 都有$${\mathsf{K}}_{\mathsf{D},S}^{\mathrm{op}}\simeq {\mathsf{K}}_{\mathsf{D},S}.$$

以下命题将给出核 $2$-范畴的名词含义

命题 2.2. 对每个对象 $S\in \mathcal{C}$, $\mathsf{D}$ 可分解为以下 $2$-函子的复合: $$\mathsf{Span}(({\mathcal{C}}_E{)}_{/S})\stackrel{{\Phi }_{\mathsf{D},S}}{\to }{\mathsf{K}}_{\mathsf{D},S}\stackrel{{\Psi }_{\mathsf{D},S}}{\to }{\mathsf{Cat}}_2.$$此处:

•	${\Phi }_{\mathsf{D},S}$ 将 $\mathsf{Span}(({\mathcal{C}}_E{)}_{/S})$ 中的对象映为自身, 将态射 $f=[Y\leftarrow Z\to X]$ 映为$${\Phi }_{\mathsf{D},S}(f):=f_{!}^{\prime }(1)\in {\mathsf{Fun}}_S(Y,X),$$此处 $f^{\prime }:Z\to X{\times }_{S}Y$ 为由 $f$ 所诱导的态射;
•	${\Psi }_{\mathsf{D},S}={\mathsf{Fun}}_S(S,-)$ 将 $X\in {\mathsf{K}}_{\mathsf{D},S}$ 映为 $\mathsf{D}(X)$, 将态射 $M\in {\mathsf{Fun}}_S(Y,X)$ 映为函子$${\Psi }_{\mathsf{D},S}(M):={\pi }_{1!}(M\otimes {\pi }_2^{\ast }(-)):\mathsf{D}(Y)\to \mathsf{D}(X),$$此处 ${\pi }_i$ 为 $X{\times }_{S}Y$ 上的投影态射.

注 2.3. 不难发现 ${\Psi }_{\mathsf{D},S}$ 即为以 $M$ 为核的 Fourier–Mukai 变换.

命题 2.4. 对于每个对象取 $\mathsf{D}$ 在其上的核 $2$-范畴可构成打到 ${\mathsf{Cat}}_2$ 的三函子理论$${\mathsf{K}}_{\mathsf{D},(-)}:\mathsf{Span}(\mathcal{C})\to {\mathsf{Cat}}_2,S\mapsto {\mathsf{K}}_{\mathsf{D},S}.$$

以下讨论其下降性质

注 2.5. 当 $E$ 包含 $\mathcal{C}$ 中全体态射时, ${\mathsf{K}}_{\mathsf{D}}$ 还是可表现三函子理论, 记 ${\mathsf{K}}_{\mathsf{D}}^{\prime }:={\mathsf{Fun}}_{{\mathsf{Pr}}^{\mathrm{L}}}({\mathsf{K}}_{\mathsf{D}},{\mathsf{Pr}}^{\mathrm{L}})$. 右侧表示 ${\mathsf{Pr}}^{\mathrm{L}}$-充实函子所构成的范畴. 此时函子 $\mathcal{C}\to {\mathsf{K}}_{\mathsf{D}}$ 可自动延拓为保持余极限的函子 $\mathsf{PSh}(\mathcal{C})\to {\mathsf{K}}_{\mathsf{D}}^{\prime }$. 从而 $\mathcal{C}$ 上的层可视为 ${\mathsf{K}}_{\mathsf{D}}^{\prime }$ 中对象. 给定 $\mathcal{C}$ 上预层 $X$, $Y$, 利用 Yoneda 嵌入的稠密性将它们分别表为余极限 ${\mathrm{colim}}_i{X}_i$ 和 ${\mathrm{colim}}_j{Y}_j$. 则有$${\mathsf{Fun}}_{{\mathsf{K}}_{\mathsf{D}}^{\prime }}(Y,X)={\lim }_j{\mathrm{colim}}_i\mathsf{D}(X_i\times Y_j).$$更进一步可以获知$${\mathsf{D}}^{\ast }(X):={\mathsf{Fun}}_{{\mathsf{K}}_{\mathsf{D}}^{\prime }}(X,\ast )={\lim }_i\mathsf{D}(X_i),{\mathsf{D}}^{!}(X):={\mathsf{Fun}}_{{\mathsf{K}}_{\mathsf{D}}^{\prime }}(\ast .X)={\mathrm{colim}}_i\mathsf{D}(X_i).$$如果还要求 $X$ 在 ${\mathsf{K}}_{\mathsf{D}}$ 中是自对偶的, 则 ${\mathsf{D}}^{\ast }(X)={\mathsf{D}}^{!}(X)$.

3参考资料

以下文献的第四节充分讲述了核 2-范畴的基本概念:

•	Claudius Heyer, Lucas Mann (2024). “6-Functor Formalisms and Smooth Representations”. arXiv: 2410.13038 [math.CT]. (web)

4相关概念

•	Fourier–Mukai 变换
•	层–函数对应
•	六函子理论

术语翻译

核 $2$-范畴 • 英文 $2$-category of kernels