晶体群

在 Euclid 几何中, 晶体群 (也称为空间群) 指的是 Euclid 空间 ${\mathbb{R}}^n$ 的等距同构群 $\mathrm{Iso}({\mathbb{R}}^n)$ . 这类群可以实现为 ${\mathbb{R}}^n$ 中某个晶体的等距同构群, 因此称为 “晶体群”.

Bieberbach 定理表明晶体群必为 ${\mathbb{Z}}^n$ 和正交群 ${\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$ 的有限子群的群扩张, 其中前者大致指的是平移构成的子群, 后者则大致表示群里的旋转和反射. 由此, 可以用研究群扩张的工具 (例如群上同调) 来分类晶体群. 目前已经分类不超过六维的晶体群.

1定义

定义 1.1 (晶体群). $\mathbf{n}$ 维晶体群指的是 Euclid 空间 ${\mathbb{R}}^{\mathbb{n}}$ 的等距同构群的余紧离散子群 $G\subset \mathrm{Iso}({\mathbb{R}}^n)$.

$\mathrm{Iso}({\mathbb{R}}^n)$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 与 ${\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$ 的扩张: 它满足以下正合列$$1\to {\mathbb{R}}^n\to \mathrm{Iso}({\mathbb{R}}^n)\to {\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})\to 1.$$其中 ${\mathbb{R}}^n$ 表示由平移构成的子群. 以下的 Bieberbach 定理表明, 晶体群也可以写成群扩张的形式: 它是 ${\mathbb{Z}}^n$ 和有限群的扩张.

定理 1.2 (Bieberbach). 对晶体群 $G\subset \mathrm{Iso}({\mathbb{R}}^n)$, 子群 $G\cap {\mathbb{R}}^n$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 中的晶格 (也就是同构于 ${\mathbb{Z}}^n$ 的离散子群), 且 $G/(G\cap {\mathbb{R}}^n)\subset {\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$ 是有限群.

定义 1.3 (晶格与点群). 上述定理中, $G\cap {\mathbb{R}}^n$ 称为 $G$ 的晶格, $G/G\cap {\mathbb{R}}^n$ 称为 $G$ 的点群.

定义 1.4 (同构). 两个晶体群 $G,H\in \mathrm{Iso}({\mathbb{R}}^n)$ 同构, 指的是存在 ${\mathbb{R}}^n$ 上的仿射变换使得它们共轭. 如进一步要求此仿射变换保持 ${\mathbb{R}}^n$ 的定向, 则它们称为保向同构的.

2分类

晶格理论中的重要问题是给出晶体群的同构类和保向同构类, 有时也会按照晶体群对应的晶格或点群来做粗糙的分类.

由上述论断, 晶体群 $G$ 满足以下正合列$$1\to {\mathbb{Z}}^n\to G\to \bar{G}\to 1.$$$\bar{G}$ 是 ${\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$ 的有限子群, 它通过共轭作用于 ${\mathbb{Z}}^n$ 上. 因此晶体群的分类大致可分成以下几个步骤来解决.

•	分类所有 ${\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$ 的有限子群, 即所有点群.

•	对 ${\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$ 的有限子群 $\bar{G}$, 分类 $\bar{G}$ 在 ${\mathbb{Z}}^n$ 上作用的 ${\mathrm{GL}}_n(\mathbb{Z})$-共轭类.

•	对上述群 $\bar{G}$ 和群作用 $G\circlearrowleft {\mathbb{Z}}^n$, 分类群扩张$$1\to {\mathbb{Z}}^n\to G\to \bar{G}\to 1.$$它大致由群上同调 $H^2(\bar{G},{\mathbb{Z}}^n)$ 给出 (但不尽然, 需商去由 $\bar{G}$ 和 ${\mathbb{Z}}^n$ 的自同构在上同调上的作用).

3例子

•	一维晶体群必保向同构于 $\mathbb{Z}$ 或 $\mathbb{Z}⋊\mathbb{Z}/2$.

•	二维晶体群和三维晶体群的分类见相应条目.

4相关概念

术语翻译

晶体群 • 英文 crystallographic group

空间群 • 英文 space group