角

角衡量从同一点出发的两个向量的方向差异, 这种衡量需要借助内积来完成.

1定义

向量的角

定义 1.1 (角). 设 $V$ 是 Euclid 空间, 带有 Euclid 内积 $⟨-,-⟩$. 设 $x,y\in V$ 是非零向量. 则 $x,y$ 之间的角定义为$$\angle (x,y)=\arccos \frac{⟨x,y⟩}{\Vert x\Vert \Vert y\Vert },$$其取值为 $[0,\pi ]$ 中的实数.

曲线的角

在 Riemann 流形上 (例如在 Euclid 空间中), 若两条光滑曲线相交, 我们可以定义其相交处的夹角.

定义 1.2 (角). 设 $X$ 是 Riemann 流形, ${\gamma }_1,{\gamma }_2:\mathbb{R}\to X$ 为光滑曲线, 满足 ${\gamma }_1(0)={\gamma }_2(0)=x\in X$, 并且 ${\gamma }_1^{\prime }(0)\ne 0$, ${\gamma }_2^{\prime }(0)\ne 0$. 为避免叙述尴尬, 假设 ${\gamma }_1,{\gamma }_2$ 都只经过 $x$ 一次.

则 ${\gamma }_1,{\gamma }_2$ 在其交点 $x$ 处构成的角定义为 ${\gamma }_1^{\prime }(0)$ 与 ${\gamma }_2^{\prime }(0)$ 在切空间 ${\mathrm{T}}_{x}X$ 中构成的角.

2相关概念

•	角度
•	辐角
•	三角函数、反三角函数
•	球面角、双曲角
•	二面角

术语翻译

角 • 英文 angle • 德文 Winkel (m) • 法文 angle (m) • 拉丁文 angulus (m) • 古希腊文 γωνία (f)