用户: 遗忘的左伴随/伸展范畴与高阶代数/伸展范畴

在课上, Cnossen 使用伸展范畴来处理 $(\infty ,1)$-算畴结构 ¹. 因此本节先来谈谈何谓伸展范畴. 令 $\mathcal{C}$ 为带有拉回的范畴, 令 ${\mathcal{C}}_L$ 和 ${\mathcal{C}}_R$ 为 $\mathcal{C}$ 中关于态射复合以及拉回封闭的两族态射. 粗略来说, 三元组 $(\mathcal{C},{\mathcal{C}}_L,{\mathcal{C}}_R)$ 的伸展范畴 ${\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C})$ 是指这样的结构

•	其对象与 $\mathcal{C}$ 无异;
•	从 $X$ 到 $Y$ 的态射定义为$$UXY{\mathcal{C}}_L\ni fg\in {\mathcal{C}}_R$$
•	态射 $X\leftarrow U\to Y$ 与 $Y\leftarrow V\to Z$ 的复合定义为如下拉回$$U{\times }_{Y}VUVXYZ.\text{┌}$$

本节的主要目的在于给出 ${\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C})$ 的形式化描述. 为此需要使用完备 Segal 生象以及 Rezk 脉, 但我懒得写具体细节, 因此只做粗略回顾.

1完备 Segal 生象

首先回顾什么是单纯对象.

定义 1.1. 令 $\mathcal{C}$ 为范畴, 则 $\mathcal{C}$ 的单纯对象是指函子$${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}\to \mathcal{C}.$$其间态射定义为函子的自然变换, 将全体单纯对象构成的范畴记为 $\mathsf{s}\mathcal{C}$. 当 $\mathcal{C}=\mathsf{Ani}$ 时, 称其为单纯生象.

而 Segal 生象是满足一些额外的相容性条件的单纯生象, 这些相容性条件大概就在表述态射的复合.

定义 1.2. 如果单纯生象 $X_{\bullet }:{\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}\to \mathcal{C}$ 对于任意 $[n]\in \mathbb{\Delta }$ 都有自然同构$$X_n\to \underset{n个X_1}{\underbrace{X_1{\times }_{X_0}{X}_1{\times }_{X_0}\cdots {\times }_{X_0}{X}_1}},$$则称 $X_{\bullet }$ 是 Segal 生象. 记全体 Segal 生象所构成全子范畴为 $\mathsf{Seg}(\mathsf{Ani})\subset \mathsf{sAni}$.

我们常常将上述条件称为 Segal 条件. 不难发现, 这一条件实际上是在说, 任意 $n$ 个首尾相接的 $1$-态射 ($X_1{\times }_{X_0}{X}_1{\times }_{X_0}\cdots {\times }_{X_0}{X}_1$ 中的对象), 可以通过同伦意义下唯一的方式将它们复合起来, 得到同伦意义下唯一的 $n$-态射 ($X_n$ 中的对象). 由此得到以下术语

定义 1.3. 令 $X\in \mathsf{Seg}(\mathsf{Ani})$ 为 Segal 生象, 则称 $X_0$ 中的对象为 $X$ 的对象, $X_1$ 中的对象为 $X$ 的态射, $X_2$ 中的对象为同伦. 如果态射 $f\in X_1$ 满足 $d_1(f)\simeq x$ 且 $d_2(f)=y$, 则记 $f$ 为 $f:x\to y$. 给定对象 $x,y\in X_0$, 定义 $\mathrm{Hom}$ 生象为$${\mathrm{Hom}}_X(x,y)X_1\ast X_0\times X_0.┌(d_1,d_0)(x,y)$$

定义 1.4. 令 $X\in \mathsf{Seg}(\mathsf{Ani})$ 为 Segal 生象. 考虑态射 $f:x\to y$, 如果存在同伦 $\sigma ,\tau \in X_2$ 使得 $d_0(\sigma )\simeq f$, $d_1(\sigma )\simeq {\mathrm{id}}_x$, $d_2(\tau )\simeq f$, $d_1(\tau )\simeq {\mathrm{id}}_y$, 那么就称 $f$ 为同构. 换句话说, $f$ 为同构当且仅当存在态射 $g,h:y\to x$ 使得 $gf\simeq {\mathrm{id}}_x$, 且 $fh\simeq {\mathrm{id}}_y$, 此时容易得知 $h\simeq g$.

记 $X_1^{\sim }\subset X_1$ 为由全体同构所生成的全子生象.

定义 1.5. 如果 Segal 生象 $X\in \mathsf{Seg}(\mathsf{Ani})$ 满足$$X_0\to X_1^{\sim },x\mapsto {\mathrm{id}}_x$$是生象间的同构, 则称其为完备的, 上述条件也称为 Rezk 条件. 记由完备 Segal 生象所构成的全子范畴为 $\mathsf{CSeg}(\mathsf{Ani})\subset \mathsf{Seg}(\mathsf{Ani})$.

以下记全体 $1$-范畴所构成范畴为 ${\mathsf{Cat}}_{(1)}$.

定义 1.6. 令 $\mathcal{C}$ 为范畴, 则 $\mathcal{C}$ 的脉 (或 Rezk 脉) 定义为复合$${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}\hookrightarrow {\mathsf{Cat}}_{(1)}^{\mathrm{op}}\hookrightarrow {\mathsf{Cat}}^{\mathrm{op}}\stackrel{{\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Cat}}(-,\mathcal{C})}{\to }\mathsf{Ani}.$$该构造关于 $\mathcal{C}$ 具有函子性, 由此给出函子 $N:\mathsf{Cat}\to \mathsf{sAni}$.

注 1.7. 读者可在实现–脉伴随词条中对其进行进一步的理解. 我们将对应的实现记为 $|-|$.

定理 1.8. 脉函子$$N:\mathsf{Cat}\to \mathsf{sAni},$$是全忠实的, 且其本质像为 $\mathsf{CSeg}(\mathsf{Ani})$.

证明. [Hebestreit–Steinebrunner 2025]

$\square$

因此, 完备 Segal 生象就对应于 $(\infty ,1)$-范畴. 最后来给出几则事实.

命题 1.9. 脉函子保持滤余极限, 此外 $\mathsf{Cat}$ 中滤过余极限与有限极限交换.

证明. 由实现–脉伴随可知脉函子为右伴随, 而 $\mathsf{Cat}$ 与 $\mathsf{sAni}$ 均为可表现范畴, 使用伴随函子定理立刻得知结论. 而后一结论可由 $\mathsf{sAni}$ 中滤余极限与有限极限的交换性得到.

$\square$

推论 1.10. 对于任意有限范畴 $\mathcal{I}$, 函子 ${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Cat}}(\mathcal{I},-):\mathsf{Cat}\to \mathsf{Ani}$ 均保持滤余极限. 特别地, 核函子 $(-{)}^{\simeq }:\mathsf{Cat}\to \mathsf{Ani}$ 也保持滤余极限.

证明. 注意到 $(-{)}^{\simeq }\simeq {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Cat}}([0],-)$, 因此只需验证有限范畴 $\mathcal{I}$ 的情况即可. 由于有限范畴所构成的范畴 ${\mathsf{Cat}}^{\mathrm{fin}}\subset \mathsf{Cat}$ 是由 $\varnothing ,[0],[1]$ 通过推出所生成的范畴. 因此一切约化到 $\varnothing ,[0],[1]$ 的情况. 当 $\mathcal{I}=\varnothing$ 时显然成立, 以下只说明 $[0]$ 和 $[1]$ 的情况. 而不难发现 ${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Cat}}([n],-)$ 对应于$$\mathsf{Cat}\stackrel{N}{\to }\mathsf{sAni}\stackrel{{\mathrm{ev}}_n}{\to }\mathsf{Ani}.$$由命题 1.9 立刻得知结果.

$\square$

2伸展范畴的构造

本节来构造伸展范畴. 我们的想法是造出这样一个完备 Segal 生象 ${\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C})$, 其 $n$-单形为这样的图表其中每个方块均为拉回方块, 且往左的箭头均落在 ${\mathcal{C}}_L$ 中, 往右的箭头均落在 ${\mathcal{C}}_R$ 中.

现在我们来具体构造这一完备 Segal 生象.

饱和三元组

定义 2.1. 令 $\mathcal{C}$ 为范畴, 考虑子范畴 ${\mathcal{C}}^{\prime }\subset \mathcal{C}$, 如果 ${\mathcal{C}}^{\prime }$ 包含 $\mathcal{C}$ 中的全体对象, 则称其为宽的.

宽子范畴可以简单的理解为 $\mathcal{C}$ 中一族关于复合封闭的态射.

定义 2.2. 饱和三元组是指以下三元组 $(\mathcal{C},{\mathcal{C}}_L,{\mathcal{C}}_R)$, 其中:

•	$\mathcal{C}$ 是范畴, ${\mathcal{C}}_L,{\mathcal{C}}_R$ 为其宽子范畴;
•	对于 $\mathcal{C}$ 中态射 $l:X\to Y$ 以及 $r:Y^{\prime }\to Y$, 如果 $l\in {\mathcal{C}}_L$ 且 $r\in {\mathcal{C}}_R$, 则存在拉回$$X^{\prime }X{Y}^{\prime }Y.r^{\prime }{l}^{\prime }┌l\in {\mathcal{C}}_{L}r\in {\mathcal{C}}_R$$
•	对于任意 $\mathcal{C}$ 中如上所示的拉回图表, 都有 $l^{\prime }\in {\mathcal{C}}_L$ 且 $r^{\prime }\in {\mathcal{C}}_R$.

将 ${\mathcal{C}}_L$ 称为后向态射类, ${\mathcal{C}}_R$ 称为前向态射类.

以下定义饱和三元组间的态射.

定义 2.3. 给定两个饱和三元组 $(\mathcal{C},{\mathcal{C}}_L,{\mathcal{C}}_R)$, $(\mathcal{D},{\mathcal{D}}_L,{\mathcal{D}}_R)$, 如果函子 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 将 ${\mathcal{C}}_L$ 映至 ${\mathcal{D}}_L$, 将 ${\mathcal{C}}_R$ 映至 ${\mathcal{D}}_R$, 则称其为饱和三元组间的态射. 记饱和三元组所构成的范畴为 $\mathsf{AdTrip}$.

可以使用另一重视角来看待 $\mathsf{AdTrip}$, 即将之视同 $\mathsf{Fun}(┘,\mathsf{Cat})$ 的非全子范畴, 它由$${\mathcal{C}}_L{\mathcal{C}}_R\mathcal{C}$$所张成, 且态射为饱和三元组间的态射.

例 2.4. 令 $\mathcal{C}$ 为任意范畴, 记 ${\mathcal{C}}^{\prime }$ 为 $\mathcal{C}$ 的任意宽子范畴, 则 $(\mathcal{C},{\mathcal{C}}^{\simeq },{\mathcal{C}}^{\prime })$ 与 $(\mathcal{C},{\mathcal{C}}^{\prime },{\mathcal{C}}^{\simeq })$ 均为饱和三元组.

下记 ${\mathsf{Cat}}^{拉回}$ 为全体带有全体拉回的范畴且以保持拉回的函子作为态射的范畴.

例 2.5. 若 $\mathcal{C}$ 具有全体拉回, 则 $(\mathcal{C},\mathcal{C},\mathcal{C})$ 构成饱和三元组, 因此给出全忠实函子$${\mathsf{Cat}}^{拉回}\hookrightarrow \mathsf{AdTrip}.$$

例 2.6. 若 $(\mathcal{C},{\mathcal{C}}_L,{\mathcal{C}}_R)$ 为饱和三元组, 则 $(\mathcal{C},{\mathcal{C}}_R,{\mathcal{C}}_L)$ 也为饱和三元组. 因此可给出函子$$(-{)}_{反转}:\mathsf{AdTrip}\to \mathsf{AdTrip}.$$

伸展范畴的具体构造

现在我们来介绍如何构造 ${\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C})$ 中 $n$-单形所对应的图表.

定义 2.7 (扭箭头范畴). 对于 $n\ge 0$, 令 $\mathsf{TwAr}([n])$ 为以下偏序集:

•	其对象为二元组 $(i,j)$, 且 $0\le i\le j\le n$,
•	其偏序由 $(i,j)\le (k,l)\iff i\le k且l\le j$ 给出, 换句话说, 存在态射 $(i,j)\to (k,l)$ 当且仅当 $i\le k$ 且 $l\le j$.

称为 $[n]$ 的扭箭头范畴.

方便起见, 将 $(i,j)$ 简记为 $(i\le j)$. 因此可以得到该偏序集的图示给定态射 $\phi :[n]\to [m]$, 不难发现, 其诱导出保序映射 $\mathsf{TwAr}(\phi ):\mathsf{TwAr}([n])\to \mathsf{TwAr}([m])$, 具体方式是将 $(i\le j)$ 映为 $(\phi (i)\le \phi (j))$. 不难发现这一对应显然是具有函子性的. 由此得到函子 ²$$\mathsf{TwAr}:\mathbb{\Delta }\to \mathsf{PoSet}\subset {\mathsf{Cat}}_{(1)}\subset \mathsf{Cat}.$$现在我们已经表出 ${\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C})$ 中 $n$-单形该长什么样, 但是在开头我们曾提到, ${\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C})$ 的任意 $n$-单形中, 向左的箭头落在 ${\mathcal{C}}_L$ 内, 向右的箭头落在 ${\mathcal{C}}_R$ 内. 这促使我们给 $\mathsf{TwAr}([n])$ 配上饱和三元组结构. 为此, 需要说明 $\mathsf{TwAr}([n])$ 中每个方块均为拉回.

引理 2.8. 给定整数 $0\le i\le k\le l\le j\le n$, $\mathsf{TwAr}([n])$ 中的交换方块$$(i\le j)(i\le l)(k\le j)(k\le l)$$是拉回.

证明. 无非是验证对于 $0\le i^{\prime }\le j^{\prime }\le n$, $(i^{\prime }\le j^{\prime })\le (i\le j)$ 当且仅当 $(i^{\prime }\le j^{\prime })\le (i\le l)$ 且 $(i^{\prime }\le j^{\prime })\le (k\le j)$. 而根据假设, 这无异于说 $i^{\prime }\le i$ 且 $j^{\prime }\ge j$.

$\square$

推论 2.9. 偏序集 $\mathsf{TwAr}([n])$ 带有典范的饱和三元组结构 $(\mathsf{TwAr}([n]),\mathsf{TwAr}([n]{)}_L,\mathsf{TwAr}(n{)}_R)$. 其中:

•	$\mathsf{TwAr}([n]{)}_L$ 由 $\mathsf{TwAr}([n])$ 中向左的态射构成, 即 $(i\le j)\le (i\le l)$,
•	$\mathsf{TwAr}([n]{)}_R$ 由 $\mathsf{TwAr}([n])$ 中向右的态射构成, 即 $(i\le j)\le (k\le j)$.

现在我们默认 $\mathsf{TwAr}([n])$ 为饱和三元组 $(\mathsf{TwAr}([n]),\mathsf{TwAr}([n]{)}_L,\mathsf{TwAr}(n{)}_R)$. 还是不难发现, $\mathsf{TwAr}(\phi )$ 可自动地升级为饱和三元组间态射, 从而给出函子$$\mathsf{TwAr}:\mathbb{\Delta }\to \mathsf{AdTrip}.$$现在就可以发现函子 $\mathsf{TwAr}([n])\to (\mathcal{C},{\mathcal{C}}_L,{\mathcal{C}}_R)$ 给出 ${\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C})$ 的 $n$-单形.

构造 2.10. 令 $(\mathcal{C},{\mathcal{C}}_L,{\mathcal{C}}_R)$ 为饱和三元组. 定义单纯生象 $N{\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C})\in \mathsf{sAni}$ 为$${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}\stackrel{(\mathsf{TwAr}{)}^{\mathrm{op}}}{\to }{\mathsf{AdTrip}}^{\mathrm{op}}\stackrel{{\mathrm{Hom}}_{\mathsf{AdTrip}}(-,(\mathcal{C},{\mathcal{C}}_L,{\mathcal{C}}_R))}{\to }\mathsf{Ani}.$$换句话说, 对于 $n\ge 0$, $N{\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C}{)}_n$ 是由饱和三元组间态射给出的子生象$$N{\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C}{)}_n\subset {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Cat}}(\mathsf{TwAr}([n]),\mathcal{C}).$$不难发现该构造关于 $\mathsf{AdTrip}$ 具有自然性, 从而给出函子$$N\mathsf{Span}:\mathsf{AdTrip}\to \mathsf{sAni}.$$

接下来说明其为完备 Segal 生象.

命题 2.11 (Barwick, Haugseng et al). 对于每个饱和三元组 $(\mathcal{C},{\mathcal{C}}_L,{\mathcal{C}}_R)\in \mathsf{AdTrip}$, $N{\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C})$ 都是完备 Segal 生象.

证明.

证明. 分两步进行验证:

•

首先说明其为 Segal 生象, 即验证 Segal 条件, 不难发现 $N{\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C}{)}_0$ 的对象即为 $\mathcal{C}$ 中的对象, $N{\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C}{)}_1$ 中对象形如 $[X\stackrel{l\in {\mathcal{C}}_L}{\leftarrow }U\stackrel{r\in {\mathcal{C}}_R}{\to }Y]$. 方便起见, 我们记 $N{\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C})$ 为 $\mathbb{\Sigma }$, 那么 ${\mathbb{\Sigma }}_1{\times }_{{\mathbb{\Sigma }}_0}{\mathbb{\Sigma }}_1{\times }_{{\mathbb{\Sigma }}_0}\cdots {\times }_{{\mathbb{\Sigma }}_0}{\mathbb{\Sigma }}_1$ 所对应的偏序集应当为记 ${\mathbb{\Sigma }}_1{\times }_{{\mathbb{\Sigma }}_0}{\mathbb{\Sigma }}_1{\times }_{{\mathbb{\Sigma }}_0}\cdots {\times }_{{\mathbb{\Sigma }}_0}{\mathbb{\Sigma }}_1$ 所对应的偏序集为 ${\mathbb{\Lambda }}^n$(即为如上图表). 根据引理 2.8, $\mathsf{TwAr}([n])\to \mathcal{C}$ 保持拉回当且仅当其为以下图表的右 Kan 延拓$${\mathbb{\Lambda }}^n\mathsf{TwAr}([n])\mathcal{C}\iota F{\mathrm{Ran}}_{\iota }F$$由此给出全忠实函子$${\mathbb{\Sigma }}^n=N{\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C}{)}_n\hookrightarrow {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Cat}}({\mathbb{\Lambda }}^n,\mathcal{C}),$$不难发现其本质像为左向箭头在 ${\mathcal{C}}_L$ 中, 右向箭头中 ${\mathcal{C}}_R$ 中的函子 ${\mathbb{\Lambda }}^n\to \mathcal{C}$, 因此, 若我们将 ${\mathbb{\Lambda }}^n$ 视同饱和三元组 (依照推论 2.9 将饱和三元组结构限制在其上, 仍然记为 ${\mathbb{\Lambda }}^n$), 则有同构$${\mathbb{\Sigma }}^n\stackrel{\sim }{\to }{\mathrm{Hom}}_{\mathsf{AdTrip}}({\mathbb{\Lambda }}^n,\mathcal{C}).$$从而验证了 Segal 条件;

•

接下来验证 Rezk 条件, 不难发现一切问题约化为说明 $[X\stackrel{l}{\leftarrow }U\stackrel{r}{\to }Y]$ 在 $N{\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C})$ 中作为 Segal 生象的同构当且仅当 $l$ 和 $r$ 均作为 $\mathcal{C}$ 中的同构. 现在给定 $[X\stackrel{l}{\leftarrow }U\stackrel{r}{\to }Y]$ 的左逆 $[Y\stackrel{l^{\prime }}{\leftarrow }V\stackrel{r^{\prime }}{\to }X]$ 以及右逆 $[Y\stackrel{l^{\prime \prime }}{\leftarrow }W\stackrel{r^{\prime \prime }}{\to }X]$. 即有 $(l,r)\circ (l^{\prime },r^{\prime })=\mathrm{id}$, $(l^{\prime \prime },r^{\prime \prime })\circ (l,r)=\mathrm{id}$. 将其表为图表得知这相当于给出两个图表$$YVUYXY.\text{┌}{l}^{\prime }{r}^{\prime }lr以及XUWXYX.\text{┌}lr{l}^{\prime \prime }{r}^{\prime \prime }$$从而可知 $(l^{\prime \prime },r^{\prime \prime })\circ (l,r)\circ (l^{\prime },r^{\prime })$ 为$$PYXVUWYXYX\text{┌}\text{┌}\text{┌}{l}^{\prime }{r}^{\prime }lr{l}^{\prime \prime }{r}^{\prime \prime }$$根据同构的拉回仍为同构可知 $P\to V$ ($X\to U\to X$ 的拉回) 和 $P\to W$ ($Y\to U\to Y$ 的拉回) 也为 $\mathcal{C}$ 中同构, 根据 6 选 2 原理可知图表最外侧的两条边上所有态射均为 $\mathcal{C}$ 中同构. 从而 $r$ 和 $l$ 作为 $X\to W$ 和 $Y\to V$ 的拉回也是 $\mathcal{C}$ 中同构,

$\square$

定义 2.12. 令 $(\mathcal{C},{\mathcal{C}}_L,{\mathcal{C}}_R)\in \mathsf{AdTrip}$ 为饱和三元组, 定义其伸展范畴为 ${\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C})$ 为 $N{\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C})$ 的实现 $|N{\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C})|$.

由于 $N\mathsf{Span}$ 可视为函子, 因此也可构造函子 $\mathsf{Span}$ 为$$\mathsf{AdTrip}\mathsf{sAni}.\mathsf{Cat}\mathsf{Span}N\mathsf{Span}N$$

伸展范畴的性质

以下对于伸展范畴的性质进行初步研究.

引理 2.13. 有交换方块$$\mathsf{AdTrip}\mathsf{AdTrip}\mathsf{Cat}\mathsf{Cat}.(-{)}_{反转}\mathsf{Span}\mathsf{Span}(-{)}^{\mathrm{op}}$$从而, ${\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C}{)}^{\mathrm{op}}\simeq {\mathsf{Span}}_{R,L}(\mathcal{C})$.

证明.

证明. 由 $(-{)}^{\mathrm{op}}$ 定义可知存在交换图表$$\mathsf{Cat}\mathsf{Cat}\mathsf{sAni}\mathsf{sAni},N(-{)}^{\mathrm{op}}N(-{)}^{\mathrm{op}}$$此处 $(-{)}^{\mathrm{op}}:\mathsf{sAni}\to \mathsf{sAni}$ 系指前复合上函子 $(-{)}^{\mathrm{op}}:\mathbb{\Delta }\stackrel{\sim }{\to }\mathbb{\Delta }$. 因此得到图表$$\mathsf{AdTrip}\mathsf{AdTrip}\mathsf{sAni}\mathsf{sAni}.(-{)}_{反转}N\mathsf{Span}N\mathsf{Span}(-{)}^{\mathrm{op}}$$因此一切约化为说明有自然同构$$N{\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C}{)}^{\mathrm{op}}\simeq N{\mathsf{Span}}_{R,L}(\mathcal{C}).$$展开定义, 不难发现这相当于要说明具有关于 $[n]\in {\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$ 以及 $(\mathcal{C},{\mathcal{C}}_L,{\mathcal{C}}_R)$ 具有自然同构$${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{AdTrip}}(\mathsf{TwAr}([n{]}^{\mathrm{op}}),(\mathcal{C},{\mathcal{C}}_L,{\mathcal{C}}_R))\simeq {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{AdTrip}}(\mathsf{TwAr}([n]),(\mathcal{C},{\mathcal{C}}_R,{\mathcal{C}}_L)).$$这无异于说有自然同构 $\mathsf{TwAr}([n{]}^{\mathrm{op}})\simeq \mathsf{TwAr}([n]{)}_{反转}$, 而这个同构无非是将 $(i\ge j)\in \mathsf{TwAr}([n{]}^{\mathrm{op}})$ 映为 $(j\ge i)\in \mathsf{TwAr}([n])$.

$\square$

${\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C})$ 中还可以提取出 ${\mathcal{C}}_R$ 和 ${\mathcal{C}}_L^{\mathrm{op}}$ 作为宽子范畴, 不难发现这只需要分别将向左的态射变为 $\mathrm{id}$ 以及向右的态射变为 $\mathrm{id}$, 这一结果在研究六函子理论的性质时颇为有用. 接下来对其进行严格证明.

引理 2.14. 令 ${\mathcal{C}}_L,{\mathcal{C}}_R\subset \mathcal{C}$ 为宽子范畴. 则饱和三元组 $(\mathcal{C},{\mathcal{C}}^{\simeq },{\mathcal{C}}_R)$ 和 $(\mathcal{C},{\mathcal{C}}_L,{\mathcal{C}}^{\simeq })$ 分别给出$${\mathsf{Span}}_{\simeq ,R}(\mathcal{C})\simeq {\mathcal{C}}_R以及{\mathsf{Span}}_{L,\simeq }(\mathcal{C})\simeq {\mathcal{C}}_L^{\mathrm{op}}.$$

证明. 根据引理 2.13, 只需证明第一个同构即可. 对于 $[n]\in {\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$, 考虑来源函子 $s:\mathsf{TwAr}([n])\to [n],(i\le j)\mapsto i$. 注意到该函子显然具有一个全忠实的左伴随 $(-\le n):[n]\to \mathsf{TwAr},i\mapsto (i\le n)$. 由于 $(i\le n)\le (k\le l)$ 当且仅当 $i\le k$(因为 $n\ge l$), 因此 $s$ 是右 Bousfield 局部化, 从而沿 $s$ 进行限制得到生象的嵌入$${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Cat}}([n],{\mathcal{C}}_R)\subset {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Cat}}([n],\mathcal{C})\hookrightarrow {\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Cat}}(\mathsf{TwAr}([n]),\mathcal{C}),$$其本质像为将向左的态射映为同构, 向右的态射映到 ${\mathcal{C}}_R$ 中的函子 $\mathsf{TwAr}[n]\to \mathcal{C}$. 不难发现这就是打到 $(\mathcal{C},{\mathcal{C}}^{\simeq },{\mathcal{C}}_R)$ 的态射, 因此得到自然同构$$N({\mathcal{C}}_R{)}_n={\mathrm{Hom}}_{\mathsf{Cat}}([n],{\mathcal{C}}_R)\stackrel{\sim }{\to }{\mathrm{Hom}}_{\mathsf{AdTrip}}(\mathsf{TwAr}([n]),(\mathcal{C},{\mathcal{C}}^{\simeq },{\mathcal{C}}_R))=N{\mathsf{Span}}_{\simeq ,R}(\mathcal{C}{)}_n.$$从而给出同构 $N({\mathcal{C}}_R)\simeq N{\mathsf{Span}}_{\simeq ,R}(\mathcal{C})$. 最后利用实现函子即可.

$\square$

推论 2.15. 存在典范的嵌入函子$${\mathcal{C}}_R\simeq {\mathsf{Span}}_{\simeq ,R}(\mathcal{C})\hookrightarrow {\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C})以及{\mathcal{C}}_L^{\mathrm{op}}\simeq {\mathsf{Span}}_{L,\simeq }(\mathcal{C})\hookrightarrow {\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C}).$$

以下说明 $\mathsf{AdTrip}$ 具有极限以及滤余极限.

引理 2.16. $\mathsf{AdTrip}$ 具有极限以及滤余极限, 且 $\mathsf{AdTrip}\hookrightarrow \mathsf{Fun}(┘,\mathsf{Cat})$ 保持极限以及滤余极限.

证明.

•

首先说明具有全体极限, 首先需要注意到函子范畴的极限是逐点计算的, 因此 $\mathsf{Fun}(┘,\mathsf{Cat})$ 的极限也是在 $\mathsf{Cat}$ 中逐点计算的. 因此我们只需说明给定图表 $\mathcal{I}\to \mathsf{AdTrip}$, 有 $(\mathcal{C},{\mathcal{C}}_L,{\mathcal{C}}_R)=({\lim }_i{\mathcal{C}}_i,{\lim }_i({\mathcal{C}}_i{)}_L,{\lim }_i({\mathcal{C}}_i{)}_R)$ 是饱和三元组. 由单态射的识别方式可知子范畴 3是在极限下封闭的 (将其识别为拉回, 而后利用极限的交换性), 并且任意计算得到 ${\mathcal{C}}_L$ 与 ${\mathcal{C}}_R$ 仍然为宽子范畴. 因此 $X\stackrel{l}{\to }{X}^{\prime \prime }\stackrel{r}{\leftarrow }{X}^{\prime }$ 在 $\mathcal{C}={\lim }_i{\mathcal{C}}_i$ 中具有拉回当且仅当其落在每个 ${\mathcal{C}}_i$ 中均有拉回, 而 $({\mathcal{C}}_i,({\mathcal{C}}_i{)}_L,({\mathcal{C}}_i{)}_R)$ 为饱和三元组, 根据定义 2.2 我们知道 $(\mathcal{C},{\mathcal{C}}_L,{\mathcal{C}}_R)$ 确为饱和三元组.

•

以下验证滤余极限, 给定滤范畴 $\mathcal{I}$ 以及图表 $\mathcal{I}\to \mathsf{AdTrip}$, 由滤余极限的具体计算可知 ${\mathcal{C}}_L$ 和 ${\mathcal{C}}_R$ 仍为宽子范畴. 根据命题 1.9, $\mathsf{Cat}$ 中滤余极限与拉回交换, 因此 ${\mathcal{C}}_j\to {\mathrm{colim}}_i{\mathcal{C}}_i=\mathcal{C}$ 保持拉回, 因此 $\mathcal{C}$ 中图表 $X\stackrel{l}{\to }{X}^{\prime \prime }\stackrel{r}{\leftarrow }{X}^{\prime }$ 的拉回可提升到某个 ${\mathcal{C}}_j$ 中计算, 从而得知 $(\mathcal{C},{\mathcal{C}}_L,{\mathcal{C}}_R)$ 为饱和三元组.

$\square$

命题 2.17. $\mathsf{Span}:\mathsf{AdTrip}\to \mathsf{Cat}$ 保持极限以及滤余极限.

证明. 根据命题 1.9 可知问题可约化到 $\mathsf{sAni}$ 上, 因此只需处理 $N\mathsf{Span}$ 的情况即可 ⁴. 再利用 $\mathsf{sAni}$ 中 (余) 极限的逐点计算性质, 可知一切约化到对于 $[n]\in {\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}$ 说明$${\mathrm{Hom}}_{\mathsf{AdTrip}}(\mathsf{TwAr}([n]),-):\mathsf{AdTrip}\to \mathsf{Ani}$$保持极限以及滤余极限. 利用可表函子定理的对偶版本 ⁵可知该函子保持极限, 以下说明其保持滤余极限. 利用滤余极限与有限极限的交换性, 将问题约化为 Segal 条件. 而注意到 $\mathsf{TwAr}([0])$ 且 $\mathsf{TwAr}([1])$ 均有限. 因此根据推论 1.10 得证.

$\square$

3伸展范畴的积与余积

本节来探讨 ${\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C})$ 具有有限积与余积的条件.

伸展范畴的伴随

构造 3.1. 考虑饱和三元组 $(\mathcal{C},{\mathcal{C}}_L,{\mathcal{C}}_R),(\mathcal{D},{\mathcal{D}}_L,{\mathcal{D}}_R)\in \mathsf{AdTrip}$. 且 $F,G:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 为可升级为 $\mathsf{AdTrip}$ 中态射的函子. 令 $\alpha :F\Rightarrow G$ 为自然变换, 且满足以下条件

1.	对于任意 $X\in \mathcal{C}$, 都有 $[{\alpha }_X:F(X)\to G(X)]\in {\mathcal{D}}_R$;
2.	对于 ${\mathcal{C}}_L$ 中态射 $l:Z\to X$, 以下图表在 $\mathcal{D}$ 中是拉回$$F(Z)G(Z)F(X)G(X).{\alpha }_{X}F(l)G(l){\alpha }_Y$$

现在将 $F$ 与 $G$ 升级为伸张范畴间的函子 ${\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C})\to {\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{D})$, 以下构造伸展范畴间的自然变换$${\mathsf{Span}}^R(\alpha ):\mathsf{Span}(F)\Rightarrow \mathsf{Span}(G).$$利用例 2.4 给 $[1]$ 配上饱和三元组结构 $([1],[1{]}^{\simeq },[1])$. 则 $\mathcal{C}\times [1]$ 也具有饱和三元组结构. 现在利用 Curry 化将 $\alpha$ 视同函子 $\mathcal{C}\times [1]\to \mathcal{D}$, 则条件 1 以及条件 2  就在事实上保证了 $\alpha$ 可升级为饱和三元组间态射, 因此其诱导函子$${\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C}\times [1])\to {\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{D}).$$利用命题 2.17 可知 ${\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C}\times [1])\simeq {\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C})\times {\mathsf{Span}}_{同构,全体态射}([1])$. 而 ${\mathsf{Span}}_{同构,全体态射}([1])\simeq [1]$, 从而得到伸展范畴间的函子$${\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C})\times [1]\to {\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{D}).$$此时限制到 $0$ 和 $1$ 上分别是 $\mathsf{Span}(F)$ 以及 $\mathsf{Span}(G)$. 这样就造出了自然变换 ${\mathsf{Span}}^R(\alpha )$, 将其逐点写出即为$$F(X)=F(X)\stackrel{{\alpha }_X}{\to }G(X).$$

注 3.2. 不难发现上述构造具有对偶的版本, 即将条件条件 1 以及条件 2 转为

1’.	对于任意 $X\in \mathcal{C}$, 都有 $[{\alpha }_X:F(X)\to G(X)]\in {\mathcal{D}}_L$;
2’.	对于 ${\mathcal{C}}_R$ 中态射 $r:Z\to X$, 以下图表在 $\mathcal{D}$ 中是拉回$$F(Z)G(Z)F(X)G(X).{\alpha }_{X}F(r)G(r){\alpha }_Y$$

再配上引理 2.13 以及前文讨论即可得到自然变换$${\mathsf{Span}}^L(\alpha ):\mathsf{Span}(F)\Rightarrow \mathsf{Span}(G),$$逐点写出即为$$G(X)\stackrel{{\alpha }_X}{\leftarrow }F(X)=F(X).$$因此两种方式均可将饱和三元组态射间的自然变换升级为伸展范畴间函子的自然变换, 不过 ${\mathsf{Span}}^R$ 更加方便, 因此我们使用这个版本.

引理 3.3. 在构造 3.1 的基础之上, 给定第三个饱和三元组间的态射 $H:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$, 令 $\alpha :F\Rightarrow G$ 以及 $\beta :G\Rightarrow H$ 为满足条件 1 以及条件 2  的自然变换, 则有$${\mathsf{Span}}^R({\mathrm{id}}_{\mathcal{C}})={\mathrm{id}}_{{\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C})}以及{\mathsf{Span}}^R(\beta \circ \alpha )={\mathsf{Span}}^R(\beta )\circ {\mathsf{Span}}^R(\alpha ).$$对偶地, 这对于 ${\mathsf{Span}}^L$ 也成立.

证明. 我们来证明更强的版本, 即说明对于 $[n]\in \mathbb{\Delta }$ 都有 ${\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C}\times [n])\simeq {\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C})\times [n]$, 而这是显然的, 当 $n=0$ 和 $2$ 时就得到该引理.

$\square$

既然自然变换可诱导出伸展范畴间的自然变换, 那么伴随函子是否也可以诱导出伸展范畴间的伴随关系呢. 答案是肯定的.

推论 3.4. 考虑饱和三元组 $(\mathcal{C},{\mathcal{C}}_L,{\mathcal{C}}_R),(\mathcal{D},{\mathcal{D}}_L,{\mathcal{D}}_R)\in \mathsf{AdTrip}$. 令 $F⊣G$ 为一对伴随函子, 且 $F$ 与 $G$ 均可提升为饱和三元组间的态射. 假设对于每个 $X\in \mathcal{C}$, 单位态射 ${\eta }_X:X\to G(F(X))$ 在 ${\mathcal{C}}_R$ 中, 且余单位态射 ${\epsilon }_X:F(G(X))\to X$ 在 ${\mathcal{D}}_R$ 中. 此外, 对于 ${\mathcal{C}}_L$ 中态射 $l:Z\to X$, 以及 ${\mathcal{D}}_L$ 中态射 $l^{\prime }:Z^{\prime }\to X^{\prime }$, 交换图表$$ZG(F(Z))XG(F(X)){\eta }_{Z}lG(F(l)){\eta }_X以及F(G(Z^{\prime }))Z^{\prime }F(G(X^{\prime }))X^{\prime }{\epsilon }_{Z^{\prime }}F(G(l^{\prime }))l^{\prime }{\epsilon }_{X^{\prime }}$$均为拉回. 则 $F$ 和 $G$ 诱导出伴随函子$${\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C}){\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{D}).\mathsf{Span}(F)\perp \mathsf{Span}(G)$$将上文条件中全体 “$R$” 与 “$L$” 互换后, 诱导出伴随函子$${\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{D}){\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C}).\mathsf{Span}(G)\perp \mathsf{Span}(F)$$

证明. 只需证明第一个结果即可, 而根据构造 3.1, 先将 $\eta$ 和 $\epsilon$ 提升为自然变换, 而后验证三角等式即可.

$\square$

伸展范畴的积与余积

现在利用伸展范畴的伴随来研究伸展范畴的积与余积.

定义 3.5. 考虑饱和三元组 $(\mathcal{C},{\mathcal{C}}_L,{\mathcal{C}}_R)\in \mathsf{AdTrip}$,

•	如果其满足以下条件, 则称其为弱广延的: 1. 范畴 $\mathcal{C}$ 带有有限乘积; 2. 余积函子 $\mathcal{C}\times \mathcal{C}\to \mathcal{C}$ 可提升为饱和三元组间的态射, 即 ${\mathcal{C}}_L$ 以及 ${\mathcal{C}}_R$ 中态射在余积下封闭, 且 ${\mathcal{C}}_L$ 中态射沿 ${\mathcal{C}}_R$ 中态射的拉回图表的余积仍然为拉回图表; 3. 对于每个 $X\in \mathcal{C}$, 典范态射 $\varnothing \to X$ 以及余对角态射 $\nabla :X\bigsqcup X\to X$ 都在 ${\mathcal{C}}_L$ 中; 4. 对于每个 ${\mathcal{C}}_R$ 中的态射 $r:X\to Y$, 交换图表$$X\bigsqcup XY\bigsqcup YXYr\bigsqcup r\nabla \nabla f以及\varnothing \varnothing XYr$$均为拉回;
•	如果 $(\mathcal{C},{\mathcal{C}}_R,{\mathcal{C}}_L)$ 是弱广延的, 则称其为弱余广延的;
•	如果饱和三元组既弱广延又弱余广延, 则称其为广延的;
•	如果范畴 $\mathcal{C}$ 具有宽子范畴 ${\mathcal{C}}_L$ 以及 ${\mathcal{C}}_R$ 使其构成的饱和三元组是广延的, 则称该范畴是广延的.

以下给出一些广延范畴的例子.

例 3.6.

•	有限集范畴 $\mathsf{Fin}$ 是广延的, 对于有限群 $G$, 有限$G$-集范畴 $G\text{-}\mathsf{Fin}$ 是广延的;
•	拓扑空间范畴 $\mathsf{Top}$ 是广延的;
•	$\mathsf{Ani}$ 的任意关于有限余积封闭的全子范畴 $\mathcal{C}$ 均为广延的.

广延饱和三元组的好处在于, 它对应的伸展范畴是半加性的.

定义 3.7. 令 $\mathcal{C}$ 为带零对象, 有限乘积以及有限余积的范畴, 如果对于任意 $X,Y\in \mathcal{C}$, 典范态射$$\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{id}}_X& 0\\ 0& {\mathrm{id}}_Y\end{array}\right]:X\bigsqcup Y\to X\times Y$$均为同构, 则称 $\mathcal{C}$ 是半加性的.

引理 3.8. 令 $(\mathcal{C},{\mathcal{C}}_L,{\mathcal{C}}_R)\in \mathsf{AdTrip}$ 为饱和三元组.

1.	如果该饱和三元组是弱广延的, 则 ${\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C})$ 具有有限乘积, 且 ${\mathcal{C}}_L^{\mathrm{op}}\hookrightarrow {\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C})$ 保持有限乘积;
2.	如果该饱和三元组是弱余广延的, 则 ${\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C})$ 具有有限余积, 且 ${\mathcal{C}}_R\hookrightarrow {\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C})$ 保持有限余积;
3.	如果该饱和三元组是广延的, 则 ${\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C})$ 是半加性的.

证明.

证明. 不难发现, 只需证明 1. 和 3. 即可.

1. 的证明.

注意到 $\mathcal{C}$ 具有有限余积当且仅当其具有始对象且任意两个对象 $X,Y\in \mathcal{C}$ 都具有余积. 这相当于说对角函子 $\Delta :\mathcal{C}\to \mathcal{C}\times \mathcal{C}$ 具有左伴随 $\bigsqcup :\mathcal{C}\times \mathcal{C}\to \mathcal{C}$. 因此, 我们需要利用推论 3.4 在交换 “$R$” 和 “$L$” 的位置后的结果, 以此说明 ${\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C})$ 具有有限乘积. 首先来解决终对象的问题, 考虑典范函子 $\mathcal{C}\to \ast$, 如果该函子具有左伴随 $\ast \to \mathcal{C}$, 则不难发现左伴随的像为 $\mathcal{C}$ 中的始对象. 不难验证余广延的饱和三元组 $(\mathcal{C},{\mathcal{C}}_L,{\mathcal{C}}_R)$ 中, $\mathcal{C}$ 带有始对象, 因此该伴随存在. 而不难验证该伴随满足推论 3.4 所述条件, 因此 ${\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C})$ 带有终对象. 接下来将 $\bigsqcup :\mathcal{C}\times \mathcal{C}\to \mathcal{C}$ 也提升到伸展范畴上, 为此, 考虑对应伴随函子的余单位和单位, 不难发现余单位为余对角态射 $\nabla$, 且单位为二元组 $(X\hookrightarrow X\bigsqcup Y,Y\hookrightarrow X\bigsqcup Y)$. 不难发现由于该饱和三元组是弱广延的, 因此单位以及余单位分别在 ${\mathcal{C}}_L\times {\mathcal{C}}_L$ 和 ${\mathcal{C}}_L$ 中, 且对于 ${\mathcal{C}}_R$ 中态射, 推论 3.4 所述图表均为拉回, 因此根据推论 3.4, 这诱导出伴随对$${\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C}){\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C}\times \mathcal{C}).\Delta \perp \bigsqcup$$因此 ${\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C})$ 任意两个对象 $X$ 和 $Y$ 都带有乘积.

3. 的证明.

首先注意到, 当 $(\mathcal{C},{\mathcal{C}}_L,{\mathcal{C}}_R)$ 广延时, $\mathcal{C}$ 的始对象在 ${\mathsf{Span}}_{L,R}(\mathcal{C})$ 中变为零对象. 并且零对象对应的伸展为$$X\leftarrow \varnothing \to Y.$$同时注意到 $\mathcal{C}$ 中余积 $X\bigsqcup Y$ 同时为乘积和余积, 并且其泛性质由以下四个伸展给出, 从左到右分别为 $p_X,p_Y,i_X,i_Y$. $$X\bigsqcup Y\hookleftarrow X=X,X\bigsqcup Y\hookleftarrow Y=Y,X=X\hookrightarrow X\bigsqcup Y,Y=Y\hookrightarrow X\bigsqcup Y$$接下来只需说明 $p_X\circ i_X={\mathrm{id}}_X$, $p_X\circ p_Y=0$, $p_Y\circ i_X=0$, $p_Y\circ i_Y={\mathrm{id}}_Y$ 即可, 为此只需观察到$$XXXX\bigsqcup Y,┌YYYX\bigsqcup Y,┌\varnothing YXX\bigsqcup Y,┌.$$

$\square$

推论 3.9. $\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})$ 是加性的.

4参考文献, 脚注以及翻译

参考文献

•	Fabian Hebestreit, Jan Steinebrunner (2025). “A Short Proof That Rezk’s Nerve Is Fully Faithful”. International Mathematics Research Notices 2025 (4), rnaf021. (doi) (web)

脚注

1.	^ 我们将会看到, $\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})$ 的代数模式与 ${\mathsf{Fin}}_{\ast }$ 的代数模式一致, 因此所构造的算畴结构也应当是等价的.
2.	^ 注意该函子为协变函子, Cnossen 原文在此处出错.
3.	^ 注意, 我们所定义的子范畴概念并非 Lurie 所给出的版本, 而使用 $\mathcal{D}\hookrightarrow \mathcal{C}$ 为 $\mathsf{Cat}$ 中的 $(-1)$-截断态射, 即单态射来给出子范畴.
4.	^ 注意到 $N$ 还是右伴随, 因此保持极限
5.	^ 即函子 $F:\mathcal{C}\to \mathsf{Ani}$ 余可表当且仅当其保持极限.

翻译

术语翻译

伸展 • 英文 span

伸展范畴 • 英文 span category

饱和三元组 • 英文 adequate triple

扭箭头范畴 • 英文 twisted arrow category

弱广延 • 英文 weakly extensive

广延 • 英文 extensive