子范畴

在范畴论中, 一个范畴的子范畴是由该范畴的一部分对象、态射组成的范畴.

在文献中通常直接以此作为子范畴的定义, 但这样的子范畴概念将与等价原理相悖: 等价原理要求范畴论的任何概念都应被范畴等价保持; 对子范畴而言, 若 $\mathcal{D}$ 是 $\mathcal{C}$ 的子范畴, 而 $\mathcal{C}$ 与 ${\mathcal{C}}^{\prime }$ 范畴等价, 我们也希望 $\mathcal{D}$ 等价于 ${\mathcal{C}}^{\prime }$ 的某个子范畴. 然而, 这一点在通常的定义下并不成立: 例如, 单点范畴等价于一个有很多互相同构的对象的范畴, 而后者在通常的定义下比前者有更多互不等价的子范畴.

因此, 相比于文献中通常的定义, 我们增加一个额外的要求, 即子范畴应包含其中对象之间的所有同构. 换言之, 子范畴的对象群胚由原范畴的对象群胚的某些连通分支构成. 这样即可避免之前的例子中, 子范畴比原范畴具有更多对象同构类的情况. 加入这一要求后, 子范畴的概念即满足等价原理.

另一种更强的子范畴的概念是全子范畴, 即要求子范畴包含其中对象之间的所有态射. 全子范畴是比子范畴更常用的概念, 我们也常将其作为范畴间 “嵌入” 这一想法的合适表述.

1定义

定义 1.1 (子范畴). 设 $\mathcal{C}$ 是范畴. 则 $\mathcal{C}$ 的子范畴 $\mathcal{D}$ 由以下信息组成:

•	子类 $\mathrm{Ob}(\mathcal{D})\subset \mathrm{Ob}(\mathcal{C})$.

•	对任何 $x,y\in \mathrm{Ob}(\mathcal{D})$, 有一个子集 $\mathcal{D}(x,y)\subset \mathcal{C}(x,y)$,

满足以下条件:

•	对任何 $x,y\in \mathrm{Ob}(\mathcal{D})$ 及 $f\in \mathcal{C}(x,y)$, 若 $f$ 是 $\mathcal{C}$ 中的同构, 则 $f\in \mathcal{D}(x,y)$. 特别地, 对任何 $x\in \mathrm{Ob}(\mathcal{D})$, 有 $1_x\in \mathcal{D}(x,x)$.

•	对任何 $x,y,z\in \mathrm{Ob}(\mathcal{D})$, 及任何 $f\in \mathcal{D}(x,y)$, $g\in \mathcal{D}(y,z)$, 有 $g\circ f\in \mathcal{D}(x,z)$, 其中 $\circ$ 是 $\mathcal{C}$ 中的复合.

上述信息使得 $\mathcal{D}$ 也满足范畴的定义.

2相关概念

术语翻译

子范畴 • 英文 subcategory • 德文 Unterkategorie (f) • 法文 sous-catégorie (f)