扭箭头范畴

扭箭头范畴是个范畴论一般构造, 是 $\mathrm{Hom}$ 函子的反直化. 粗略地说, 范畴 $\mathcal{C}$ 的扭箭头范畴的对象是 $\mathcal{C}$ 中的箭头, 其映射对于箭头的定义域是反变的, 对其值域是协变的 (定义 1.1).

1定义

定义 1.1. 设 $\mathcal{C}$ 是范畴. $\mathcal{C}$ 的扭箭头范畴, 记作 $\mathsf{TwAr}(\mathcal{C})$, 指如下范畴:

•	其对象为 $\mathcal{C}$ 中的映射 $f:X_0\to X_1$.
•	$f:X_0\to X_1$ 到 $g:Y_0\to Y_1$ 的映射 $F$ 为交换图表$$X_0{X}_1{Y}_0{Y}_{1}f{F}_1{F}_{0}g$$

由构造我们有自然的函子 $\mathsf{TwAr}(\mathcal{C})\to {\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\times \mathcal{C}$, 即 $(f:X_0\to X_1)\mapsto (X_0,X_1)$. 扭箭头范畴的构造具有函子性, 即它给出函子 $\mathsf{TwAr}:\mathsf{Cat}\to \mathsf{Cat}$.

注 1.2. 对 $(\infty ,1)$-范畴 $\mathcal{C}$, 定义 1.1 不足以给出 $(\infty ,1)$-范畴 $\mathsf{TwAr}(\mathcal{C})$. 此时应当用定理 2.1 作定义, 其中 $\mathrm{Hom}$ 函子的陪域换成生象构成的 $(\infty ,1)$-范畴 $\mathsf{Ani}$.

定义 1.3 ($(\infty ,1)$-范畴中的扭箭头范畴). 对于 $(\infty ,1)$-范畴 $\mathcal{C}$, 可将 $\mathsf{TwAr}(\mathcal{C})$ 刻画为以下单纯集$$\mathsf{TwAr}(\mathcal{C}{)}_n:={\mathrm{Hom}}_{\mathsf{sSet}}(N([n{]}^{\mathrm{op}}\star [n]),\mathcal{C}),$$此处 $[n{]}^{\mathrm{op}}\star [n]$ 是指 $[n{]}^{\mathrm{op}}$ 与 $[n]$ 作为全序集的连并.

注 1.4. 依据构造, $\mathsf{TwAr}(\mathcal{C})$ 中的对象为 $\mathcal{C}$ 中的映射 $f:C\to D$. 更进一步, 其 $n$-单形为 $\mathcal{C}$ 中形如以下形状的 $(2n+1)$-单形. $$C_0{C}_1\cdots C_n{D}_0{D}_1\cdots D_n.$$

2性质

定理 2.1. 函子 $\mathsf{TwAr}(\mathcal{C})\to {\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\times \mathcal{C}$ 是推出纤维化, 其直化是 $\mathrm{Hom}:{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\times \mathcal{C}\to \mathsf{Set}$.

3例子

例 3.1. 对 $n\in \mathbb{N}$, 以 $[n]$ 表示偏序集 $(\{0,1,\dots ,n\},\le )$, 视为范畴. 则 $\mathsf{TwAr}[n]$ 也是偏序集, 形状如下: $$(0,0)(1,1)\cdots (n,n)(0,1)\cdots \cdots \cdots (1,n)(0,n)$$这关于 $n$ 有函子性, 构成余单纯范畴 $\mathsf{TwAr}[\bullet ]$.

4相关概念

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Span 范畴

术语翻译

扭箭头范畴 • 英文 twisted arrow category