纤维模式

约定. 在本文中,

• 范畴都指 $(\infty ,1)$-范畴.

纤维模式是代数模式上 Segal 纤维化条件的适当减弱, 使其在交换模式 ${\mathsf{Fin}}_{\ast }$ 上给出算畴, 在结合模式 ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op},♭}$ 上给出平面算畴.

1定义

定义 1.1. 设 $\mathcal{O}$ 是代数模式. $\mathcal{O}$ 上的纤维模式指函子 $\pi :\mathcal{P}\to \mathcal{O}$, 满足:

1.	$\mathcal{O}$ 中惰性映射都有 $\pi$-推出提升.
2.	对所有 $o\in \mathcal{O}$, $$\mathcal{P}{\times }_{\mathcal{O}}{\mathcal{O}}_{/o}^{活}{\lim }_{e\in {\mathcal{O}}_{o/}^{初}}(\mathcal{P}{\times }_{\mathcal{O}}{\mathcal{O}}_{/e}^{活}){\mathcal{O}}_{/o}^{活}{\lim }_{e\in {\mathcal{O}}_{o/}^{初}}{\mathcal{O}}_{/e}^{活}$$是范畴的纤维方块. 这里的横向箭头由惰性-活性分解诱导.

此时定义 $\mathcal{P}$ 中

•	惰性映射为在 $\mathcal{O}$ 中惰性映射上的推出边;
•	活性映射为在 $\mathcal{O}$ 中活性映射上的映射;
•	初等对象为在 $\mathcal{O}$ 中初等对象上的对象;

则 $\mathcal{P}$ 也成为代数模式.

2参考文献

•	Shaul Barkan, Rune Haugseng, Jan Steinebrunner (2022). “Envelopes for Algebraic Patterns”. arXiv: 2208.07183 [math.CT]. (web)

术语翻译

纤维模式 • 英文 fibrous pattern