凝聚对偶

在代数几何中, 凝聚对偶 (或称 Grothendieck 对偶) 是说, 对概形的态射 $f:X\to Y$, 在某些假设下, 导出前推函子 $\mathrm{R}{f}_{\ast }$ 具有右伴随 $f^{\times }$:$$(\mathrm{R}{f}_{\ast }⊣f^{\times }):{\mathsf{D}}_{\mathsf{QCoh}}(X)\rightleftarrows {\mathsf{D}}_{\mathsf{QCoh}}(Y),$$其中 ${\mathsf{D}}_{\mathsf{QCoh}}$ 表示拟凝聚导出范畴. 也就是说, 对任何 $\mathcal{F}\in {\mathsf{D}}_{\mathsf{QCoh}}(X)$, $\mathcal{G}\in {\mathsf{D}}_{\mathsf{QCoh}}(Y)$, 有$${\mathrm{Hom}}_Y(\mathrm{R}{f}_{\ast }\mathcal{F},\mathcal{G})\simeq {\mathrm{Hom}}_X(\mathcal{F},f^{\times }\mathcal{G}).$$在合适的假设下, 上述同构可以上升到层复形的拟同构. 这也是凝聚对偶的经典叙述:$${\mathrm{RHom}}_Y(\mathrm{R}{f}_{\ast }\mathcal{F},\mathcal{G})\simeq \mathrm{R}{f}_{\ast }{\mathrm{RHom}}_X(\mathcal{F},f^{!}\mathcal{G}),$$其中 $f^{!}$ 在这些假设下与 $f^{\times }$ 相同.

当 $Y=\mathrm{Spec}k$ 为单点簇时, 凝聚对偶化为 Serre 对偶, 故前者可视为后者对一族 (由 $Y$ 参数化的) 概形的推广.

1叙述

定理 1.1 (凝聚对偶). 设 $X,Y$ 为拟紧、拟分离概形, $f:X\to Y$ 为概形态射.

•	导出前推函子 $\mathrm{R}{f}_{\ast }$ 具有右伴随 $f^{\times }$: $$(\mathrm{R}{f}_{\ast }⊣f^{\times }):{\mathsf{D}}_{\mathsf{QCoh}}(X)\rightleftarrows {\mathsf{D}}_{\mathsf{QCoh}}(Y).$$

•	如果 $X,Y$ 是 Noether 概形, 且 $f$ 是紧合态射, 则 $f^{\times }$ 与反常拉回函子 $f^{!}$ 相同, 且有层复形的拟同构$${\mathrm{RHom}}_Y(\mathrm{R}{f}_{\ast }\mathcal{F},\mathcal{G})\simeq \mathrm{R}{f}_{\ast }{\mathrm{RHom}}_X(\mathcal{F},f^{!}\mathcal{G}).$$

([Neeman 2021, Lemma 2.4, 6.1, Example 2.6])

2例子

3相关概念

•	Serre 对偶
•	Verdier 对偶

4参考文献

•	Amnon Neeman (2021). “New progress on Grothendieck duality, explained to those familiar with category theory and with algebraic geometry”. Bull. Lond. Math. Soc. 53 (2), 315–335. (doi) (zbMATH) (pdf)

术语翻译

Grothendieck 对偶 • 英文 Grothendieck duality • 德文 Grothendieck-Dualität (f) • 法文 dualité de Grothendieck (f)

凝聚对偶 • 英文 coherent duality • 法文 dualité cohérente • 拉丁文 dualitas cohaerens