Sobolev 不等式

在泛函分析中, Sobolev 不等式是关于 Sobolev 空间和其他空间的模的不等式, 它用 Sobolev 模给出了一些函数空间中的模的估计, 从而得到 Sobolev 嵌入定理, 即 Sobolev 空间可以连续嵌入到 $L^p$ 空间或 Hölder 空间.

1陈述与证明

对 $p\in [1,\infty ]$, 记 $p^{\ast }$ 是其 Sobolev 共轭, 即满足 $\frac{1}{p^{\ast }}=\frac{1}{p}-\frac{1}{n}$ 的 $p^{\ast }$.

Gagliardo–Nirenberg–Sobolev 不等式 ($1\le p<n$ 的情形)

定理 1.1 (Gagliardo–Nirenberg–Sobolev). 设 $1\le p<n$, 则存在只与 $p,n$ 有关的常数 $C$, 使对所有 $u\in C_c^1({\mathbb{R}}^n)$ 有$$\Vert u{\Vert }_{L^{p^{\ast }}({\mathbb{R}}^n)}\le C\Vert Du{\Vert }_{L^p({\mathbb{R}}^n)}.$$

证明. 先证明 $p=1$ 的情形. 由于 $u$ 有紧支集, 对每个 $1\le i\le n$, 有$$|u(x)|=\left|{\int }_{-\infty }^{x_i}{D}_{i}ud{x}_i\right|\le {\int }_{-\infty }^{\infty }|D_{i}u|d{x}_i,$$相乘得$$|u(x){|}^{\frac{n}{n-1}}\le (\prod _{i=1}^n{\int }_{-\infty }^{\infty }|D_{i}u|d{x}_i{)}^{\frac{1}{n-1}}.$$对 $x_1$ 积分并使用 Hölder 不等式, 得到$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\infty }^{\infty }|u{|}^{\frac{n}{n-1}}d{x}_1& \le {\int }_{-\infty }^{\infty }(\prod _{i=1}^n{\int }_{-\infty }^{\infty }|D_{i}u|d{x}_i{)}^{\frac{1}{n-1}}d{x}_1\\ & =({\int }_{-\infty }^{\infty }|D_{1}u|d{x}_1{)}^{\frac{1}{n-1}}{\int }_{-\infty }^{\infty }(\prod _{i=2}^n{\int }_{-\infty }^{\infty }|D_{i}u|d{x}_i{)}^{\frac{1}{n-1}}d{x}_1\\ & \le ({\int }_{-\infty }^{\infty }|D_{1}u|d{x}_1{)}^{\frac{1}{n-1}}\prod _{i=2}^n({\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }|D_{i}u|d{x}_{i}d{x}_1{)}^{\frac{1}{n-1}}.\end{array}$$再对 $x_2$ 积分并使用 Hölder 不等式, 得到$$\begin{array}{rl}& {\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }|u{|}^{\frac{n}{n-1}}d{x}_{1}d{x}_2\\ \le & ({\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }|D_{2}u|d{x}_{1}d{x}_2{)}^{\frac{1}{n-1}}({\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }|D_{1}u|d{x}_{1}d{x}_2{)}^{\frac{1}{n-1}}\\ & \prod _{i=3}^n({\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }{\int }_{-\infty }^{\infty }|D_{i}u|d{x}_{i}d{x}_{1}d{x}_2{)}^{\frac{1}{n-1}}.\end{array}$$再依次对 $x_3,\cdots ,x_n$ 积分, 最终得到$$\begin{array}{rl}\Vert u{\Vert }_{L^{\frac{n}{n-1}}({\mathbb{R}}^n)}& \le \prod _{i=1}^n({\int }_{{\mathbb{R}}^n}|D_{i}u|dx{)}^{\frac{1}{n}}\\ & \le \frac{1}{n}{\int }_{{\mathbb{R}}^n}\sum _{i=1}^n|D_{i}u|dx\\ & \le \frac{1}{\sqrt{n}}\Vert Du{\Vert }_{L^1({\mathbb{R}}^n)}.\end{array}$$现在证明 $1<p<n$ 的情形. 上式中把 $u$ 取作 $u^{\gamma },\gamma >1$ 得到$$\begin{array}{rl}\Vert |u{|}^{\gamma }{\Vert }_{L^{\frac{n}{n-1}}({\mathbb{R}}^n)}& \le \frac{\gamma }{\sqrt{n}}\Vert |u{|}^{\gamma -1}|Du|{\Vert }_{L^1({\mathbb{R}}^n)}\\ & \le \frac{\gamma }{\sqrt{n}}\Vert |u{|}^{\gamma -1}{\Vert }_{L^{\frac{p}{p-1}}({\mathbb{R}}^n)}\Vert Du{\Vert }_{L^p({\mathbb{R}}^n)}.\end{array}$$那么令$$\gamma \frac{n}{n-1}=(\gamma -1)\frac{p}{p-1},\text{即 }\gamma =\frac{(n-1)p}{n-p}>1,$$则$$\Vert |u{|}^{\gamma }{\Vert }_{L^{\frac{n}{n-1}}({\mathbb{R}}^n)}=\Vert u{\Vert }_{L^{p^{\ast }}({\mathbb{R}}^n)}^{\gamma },\Vert |u{|}^{\gamma -1}{\Vert }_{L^{\frac{p}{p-1}}({\mathbb{R}}^n)}=\Vert u{\Vert }_{L^{p^{\ast }}({\mathbb{R}}^n)}^{\gamma -1},$$得到了$$\Vert u{\Vert }_{L^{p^{\ast }}({\mathbb{R}}^n)}\le \frac{\gamma }{\sqrt{n}}\Vert Du{\Vert }_{L^p({\mathbb{R}}^n)}.$$$\square$

推论 1.2 (对 $W^{1,p}$ 的估计). 设 $U$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 中的有界开集, 边界是 $C^1$ 曲线, $1\le p<n$, 则存在只与 $p,n,U$ 有关的常数 $C$, 使对于 $u\in W^{1,p}(U)$ 有$$\Vert u{\Vert }_{L^{p^{\ast }}(U)}\le C\Vert u{\Vert }_{W^{1,p}(U)}.$$

证明. 我们要用到 $W^{1,p}(U)$ 到 $W^{1,p}({\mathbb{R}}^n)$ 的连续的扩张算子, 即存在 $\bar{u}\in W^{1,p}({\mathbb{R}}^{\mathbb{n}})$ 使 $\bar{u}$ 有紧支集, 限制在 $U$ 上等于 $u$, 且 $\Vert \bar{u}{\Vert }_{W^{1,p}({\mathbb{R}}^n)}\le C\Vert u{\Vert }_{W^{1,p}(U)}$. 然后我们使用磨光的一般手段, 找到 $u_m\in C_c^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$ 使得在空间 $W^{1,p}({\mathbb{R}}^n)$ 中 $u_m\to \bar{u}$. 用上面的定理, $D{u}_m$ 在 $L^p({\mathbb{R}}^n)$ 中构成 Cauchy 列蕴含 $u_m$ 在 $L^{p^{\ast }}({\mathbb{R}}^n)$ 中构成 Cauchy 列, 于是在 $L^{p^{\ast }}({\mathbb{R}}^n)$ 中 $u_m\to \bar{u}$. 再对 $u_m$ 用上一定理并取极限得$$\Vert \bar{u}{\Vert }_{L^{p^{\ast }}({\mathbb{R}}^n)}\le C\Vert D\bar{u}{\Vert }_{L^p({\mathbb{R}}^n)}.$$结合扩张的有界性得到结论.

$\square$

推论 1.3 (对 $W_0^{1,p}$ 的估计). 设 $U$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 中的有界开集, 边界是 $C^1$ 曲线, $1\le p<n$, $1\le q\le p^{\ast }$, 则存在只与 $p,q,n,U$ 有关的常数 $C$, 使对于 $u\in W_0^{1,p}(U)$ 有$$\Vert u{\Vert }_{L^q(U)}\le C\Vert Du{\Vert }_{L^p(U)}.$$

证明. 由于 $u\in W_0^{1,p}(U)$, 找到 $u_m\in C_c^{\infty }(U)$ 使得在空间 $W^{1,p}(U)$ 中 $u_m\to u$. 把 $u_m$ 零延拓到 ${\mathbb{R}}^n$ 上并用上面的定理, 取极限得 $\Vert u{\Vert }_{L^{p^{\ast }}(U)}\le C\Vert Du{\Vert }_{L^p(U)}$. 由于 $U$ 有界, 又有 $\Vert u{\Vert }_{L^q(U)}\le C\Vert u{\Vert }_{L^{p^{\ast }}(U)}$.

$\square$

Morrey 不等式 ($n<p\le \infty$ 的情形)

我们用 $C^{k,\gamma }$ 表示 Hölder 空间.

定理 1.4 (Morrey). 设 $n<p\le \infty$, 则存在只与 $p,n$ 有关的常数 $C$, 使对所有的 $u\in C^1({\mathbb{R}}^n)$ 有$$\Vert u{\Vert }_{C^{0,\gamma }({\mathbb{R}}^n)}\le C\Vert u{\Vert }_{W^{1,p}({\mathbb{R}}^n)},$$其中 $\gamma =1-n/p$.

证明. 第一步. 首先证明存在常数 $C$ 使得$$\begin{array}{r}{-\int }_{B(x,r)}|u(y)-u(x)|dy\le C{r}^{1-\frac{n}{p}}\Vert Du{\Vert }_{L^p({\mathbb{R}}^n)}.\end{array}$$对于 $s\in (0,r)$, 有$$\begin{array}{rl}{\int }_{\partial B(0,1)}|u(x+sw)-u(x)|dS& \le {\int }_{\partial B(0,1)}{\int }_0^s|Du(x+tw)|dtdS\\ & ={\int }_0^s{\int }_{\partial B(0,1)}\frac{|Du(x+tw)|}{t^{n-1}}{t}^{n-1}dSdt\\ & ={\int }_{B(x,s)}\frac{|Du(y)|}{|y-x{|}^{n-1}}dy\\ & \le {\int }_{B(x,r)}\frac{|Du(y)|}{|y-x{|}^{n-1}}dy,\end{array}$$两边关于 $s^{n-1}ds$ 从 $0$ 到 $r$ 积分得到$${\int }_{B(x,r)}|u(y)-u(x)|dy\le \frac{r^n}{n}{\int }_{B(x,r)}\frac{|Du(y)|}{|y-x{|}^{n-1}}dy.$$由 Hölder 不等式, 进一步得到$$\begin{array}{rl}{-\int }_{B(x,r)}|u(y)-u(x)|dy& \le C{\int }_{B(x,r)}\frac{|Du(y)|}{|y-x{|}^{n-1}}dy\\ & \le C\left({\int }_{B(x,r)}\frac{dy}{|y-x{|}^{(n-1)\frac{p}{p-1}}}{)}^{\frac{p-1}{p}}\right({\int }_{B(x,r)}|Du(y){|}^{p}dy{)}^{\frac{1}{p}}\\ & \le C(r^{-(n-1)\frac{p}{p-1}+n}{)}^{\frac{p-1}{p}}\Vert Du{\Vert }_{L^p({\mathbb{R}}^n)}\\ & =C{r}^{1-\frac{n}{p}}\Vert Du{\Vert }_{L^p({\mathbb{R}}^n)}.\end{array}$$第二步. 对任意 $x\in {\mathbb{R}}^n$, 有$$\begin{array}{rl}|u(x)|& \le {-\int }_{B(x,1)}|u(y)-u(x)|dy+{-\int }_{B(x,1)}|u(y)|dy\\ & \le C\Vert Du{\Vert }_{L^p({\mathbb{R}}^n)}+C\Vert u{\Vert }_{L^p({\mathbb{R}}^n)}\\ & \le C\Vert u{\Vert }_{W^{1,p}({\mathbb{R}}^n)},\end{array}$$即$$\underset{x\in {\mathbb{R}}^n}{\sup }|u|\le C\Vert u{\Vert }_{W^{1,p}({\mathbb{R}}^n)}.$$第三步. 对任意 $x,y\in {\mathbb{R}}^n$, 记 $r=|x-y|$, 有$$\begin{array}{r}|u(x)-u(y)|\le {-\int }_{B(x,r)\cap B(y,r)}|u(x)-u(z)|dz+{-\int }_{B(x,r)\cap B(y,r)}|u(y)-u(z)|dz.\end{array}$$再次使用第一步的结论, 前一项$$\begin{array}{rl}{-\int }_{B(x,r)\cap B(y,r)}|u(x)-u(z)|dz& \le C{-\int }_{B(x,r)}|u(x)-u(z)|dz\\ & \le C{r}^{1-\frac{n}{p}}\Vert Du{\Vert }_{L^p({\mathbb{R}}^n)},\end{array}$$后一项同理, 于是得到$$|u(x)-u(y)|\le C{r}^{1-\frac{n}{p}}\Vert Du{\Vert }_{L^p({\mathbb{R}}^n)},$$即$$\underset{x,y\in {\mathbb{R}}^n}{\sup }\frac{|u(x)-u(y)|}{|x-y{|}^{1-\frac{n}{p}}}\le C\Vert Du{\Vert }_{L^p({\mathbb{R}}^n)}.$$第二步与第三步的结论相加, 就完成了证明.

$\square$

推论 1.5 (对 $W^{1,p}$ 的估计). 设 $U$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 中的有界开集, 边界是 $C^1$ 曲线, $n<p\le \infty$, 则存在只与 $p,n,U$ 有关的常数 $C$, 使对于 $u\in W^{1,p}(U)$ 有$$\Vert u{\Vert }_{C^{0,\gamma }(\bar{U})}\le C\Vert u{\Vert }_{W^{1,p}(U)},$$其中 $\gamma =1-n/p$.

证明. 存在 $\bar{u}\in W^{1,p}({\mathbb{R}}^{\mathbb{n}})$ 使 $\bar{u}$ 有紧支集, 限制在 $U$ 上等于 $u$, 且 $\Vert \bar{u}{\Vert }_{W^{1,p}({\mathbb{R}}^n)}\le C\Vert u{\Vert }_{W^{1,p}(U)}$. 然后找到 $u_m\in C_c^{\infty }({\mathbb{R}}^n)$ 使得在空间 $W^{1,p}({\mathbb{R}}^n)$ 中 $u_m\to \bar{u}$. 用上面的定理, $D{u}_m$ 在 $W^{1,p}({\mathbb{R}}^n)$ 中构成 Cauchy 列蕴含 $u_m$ 在 $C^{0,\gamma }({\mathbb{R}}^n)$ 中构成 Cauchy 列, 于是在 $C^{0,\gamma }({\mathbb{R}}^n)$ 中 $u_m\to \bar{u}$. 再对 $u_m$ 用上一定理并取极限得$$\Vert \bar{u}{\Vert }_{C^{0,\gamma }({\mathbb{R}}^n)}\le C\Vert \bar{u}{\Vert }_{W^{1,p}({\mathbb{R}}^n)}.$$结合扩张的有界性得到结论.

$\square$

一般的 Sobolev 不等式

整合前两节的内容, 即可得到一般的 Sobolev 不等式:

定理 1.6. 令 $U$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 中的有界开集, 边界是 $C^1$ 曲线, 设 $u\in W^{k,p}(U)$.

1.

$\mathbf{k}<\mathbf{n}/\mathbf{p}$ 的情况. 这时 $u\in L^q(U)$, 并有估计$$\Vert u{\Vert }_{L^q(U)}\le C\Vert u{\Vert }_{W^{k,p}(U)},$$其中 $\frac{1}{q}=\frac{1}{p}-\frac{k}{n}$, $C$ 是只依赖于 $p,k,n,U$ 的常数.

2.

$\mathbf{k}>\mathbf{n}/\mathbf{p}$ 的情况. 这时 $u\in C^{k-\lfloor \frac{n}{p}\rfloor -1,\gamma }(\bar{U})$, 并有估计$$\Vert u{\Vert }_{C^{k-\lfloor \frac{n}{p}\rfloor -1,\gamma }(\bar{U})}\le C\Vert u{\Vert }_{W^{k,p}(U)},$$其中 $\gamma =\{\begin{array}{ll}\lfloor \frac{n}{p}\rfloor -\frac{n}{p}+1,& \frac{n}{p}\notin \mathbb{N},\\ \text{任意小于 1 的正数},& \frac{n}{p}\in \mathbb{N},\end{array}$ $C$ 是只依赖于 $p,k,n,U$ 的常数.

证明. 当 $k<n/p$, 对各 $D^{\alpha }u,|\alpha |\le k-1$ 使用推论 1.2 得到一列连续 (即有界) 嵌入$$W^{k,p}(U)\hookrightarrow W^{k-1,\frac{1}{\frac{1}{p}-\frac{1}{n}}}(U)\hookrightarrow \cdots \hookrightarrow W^{0,\frac{1}{\frac{1}{p}-\frac{k}{n}}}(U)=L^q(U).$$当 $k>n/p\notin \mathbb{N}$, 同上使用推论 1.2, 再对各 $D^{\alpha }u,|\alpha |\le k-\lfloor \frac{n}{p}\rfloor -1$ 使用推论 1.5 得到一列连续嵌入$$W^{k,p}(U)\hookrightarrow W^{k-\lfloor \frac{n}{p}\rfloor ,\frac{1}{\frac{1}{p}-\frac{\lfloor \frac{n}{p}\rfloor }{n}}}(U)\hookrightarrow C^{k-\lfloor \frac{n}{p}\rfloor -1,\gamma }(\bar{U}),$$其中 $\frac{1}{\frac{1}{p}-\frac{\lfloor \frac{n}{p}\rfloor }{n}}>n$, $\gamma =1-\frac{n}{p}+\lfloor \frac{n}{p}\rfloor$.

当 $k>n/p\in \mathbb{N}$, 对任意 $0<\gamma <1$, 有一列连续嵌入$$W^{k,p}(U)\hookrightarrow W^{k-\frac{n}{p}+1,\frac{1}{\frac{1}{p}-\frac{\frac{n}{p}-1}{n}}}(U)=W^{k-\frac{n}{p}+1,n}(U)\hookrightarrow W^{k-\frac{n}{p}+1,\frac{n}{2-\gamma }}(U)\hookrightarrow W^{k-\frac{n}{p},\frac{n}{1-\gamma }}(U)\hookrightarrow C^{k-\frac{n}{p}-1,\gamma }(\bar{U}),$$由于 $U$ 有界及 $n>\frac{n}{2-\gamma }$ 得到第二个嵌入, 由推论 1.2 得到第一个和第三个嵌入, 由推论 1.5 得到最后一个嵌入.

$\square$

2相关概念

•	Sobolev 空间

术语翻译

Sobolev 不等式 • 英文 Sobolev inequality • 德文 Sobolev-Ungleichung • 法文 l’inégalité de Sobolev