Sobolev 不等式

泛函分析中, Sobolev 不等式是关于 Sobolev 空间和其他空间的模的不等式, 它用 Sobolev 模给出了一些函数空间中的模的估计, 从而得到 Sobolev 嵌入定理, 即 Sobolev 空间可以连续嵌入到 空间Hölder 空间.

1陈述与证明

, 记 是其 Sobolev 共轭, 即满足 .

Gagliardo–Nirenberg–Sobolev 不等式 ( 的情形)

定理 1.1 (Gagliardo–Nirenberg–Sobolev)., 则存在只与 有关的常数 , 使对所有

证明. 先证明 的情形. 由于 有紧支集, 对每个 , 有相乘得 积分并使用 Hölder 不等式, 得到再对 积分并使用 Hölder 不等式, 得到再依次对 积分, 最终得到现在证明 的情形. 上式中把 取作 得到那么令得到了

推论 1.2 (对 的估计). 中的有界开集, 边界是 曲线, , 则存在只与 有关的常数 , 使对于

证明. 我们要用到 的连续的扩张算子, 即存在 使 有紧支集, 限制在 上等于 , 且 . 然后我们使用磨光的一般手段, 找到 使得在空间 . 用上面的定理, 中构成 Cauchy 列蕴含 中构成 Cauchy 列, 于是在 . 再对 用上一定理并取极限得结合扩张的有界性得到结论.

推论 1.3 (对 的估计). 中的有界开集, 边界是 曲线, , , 则存在只与 有关的常数 , 使对于

证明. 由于 , 找到 使得在空间 . 把 零延拓到 上并用上面的定理, 取极限得 . 由于 有界, 又有 .

Morrey 不等式 ( 的情形)

我们用 表示 Hölder 空间.

定理 1.4 (Morrey)., 则存在只与 有关的常数 , 使对所有的 其中 .

证明. 第一步. 首先证明存在常数 使得对于 , 有两边关于 积分得到由 Hölder 不等式, 进一步得到第二步. 对任意 , 有第三步. 对任意 , 记 , 有再次使用第一步的结论, 前一项后一项同理, 于是得到第二步与第三步的结论相加, 就完成了证明.

推论 1.5 (对 的估计). 中的有界开集, 边界是 曲线, , 则存在只与 有关的常数 , 使对于 其中 .

证明. 存在 使 有紧支集, 限制在 上等于 , 且 . 然后找到 使得在空间 . 用上面的定理, 中构成 Cauchy 列蕴含 中构成 Cauchy 列, 于是在 . 再对 用上一定理并取极限得结合扩张的有界性得到结论.

一般的 Sobolev 不等式

整合前两节的内容, 即可得到一般的 Sobolev 不等式:

定理 1.6. 中的有界开集, 边界是 曲线, 设 .

1.

的情况. 这时 , 并有估计其中 , 是只依赖于 的常数.

2.

的情况. 这时 , 并有估计其中 是只依赖于 的常数.

证明., 对各 使用推论 1.2 得到一列连续 (即有界) 嵌入, 同上使用推论 1.2, 再对各 使用推论 1.5 得到一列连续嵌入其中 , .

, 对任意 , 有一列连续嵌入由于 有界及 得到第二个嵌入, 由推论 1.2 得到第一个和第三个嵌入, 由推论 1.5 得到最后一个嵌入.

2相关概念

Sobolev 空间

术语翻译

Sobolev 不等式英文 Sobolev inequality德文 Sobolev-Ungleichung法文 l’inégalité de Sobolev