分位数

分位数是概率论和统计学中的概念, 它在一个特定的点把数据或者随机变量的分布情况分为两个部分.

1定义

在概率论中

定义 1.1 (随机变量的分位数). 设 $X$ 是定义在概率空间 $(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 上的随机变量, $0<p<1$. 如果实数 ${\mu }_p$ 满足: $$\mathbb{P}(X\le {\mu }_p)\ge p,\mathbb{P}(X\ge {\mu }_p)\ge 1-p,$$则称 ${\mu }_p$ 是 $X$ 的一个 $\mathbf{p}$ 分位数.

特别地, 如果 $p=\frac{1}{2}$, 称这时的 ${\mu }_{1/2}$ 为 $X$ 的中位数, 记为 $m(X)$.

分位数可能是不唯一的. 比如, 如果 $X\sim B(4,1/2)$, 则区间 $[2,3]$ 中的任意一个数都符合中位数的要求.

在统计学中

定义 1.2 (数据的分位数). 设 $0<p<1$. 把一组 $n$ 个数据从小到大排序为 $x_1\le \cdots \le x_n$. 则这组数据的 $\mathbf{p}$ 分位数可以按如下步骤生成:

1.	设 $(n+1)p=N+r$, 其中 $N=\lfloor (n+1)p\rfloor$.
2.	如果 $r=0$, 则 $p$ 分位数是 $x_N$. 如果 $r\ne 0$, 则 $p$ 分位数是 $r{x}_{N+1}+(1-r)x_N$.

如果令 $p=\frac{1}{2}$, 则得到的叫做这组数据的中位数.

在实践中, 数据的 $p$ 分位数除了上面定义所述的以外还有其他的确定方式, 这里只是显示了其中一种.

2相关概念

术语翻译

分位数 • 英文 quantile • 德文 Quantil • 法文 quantile • 日文 分位数 (ぶんいすう)

中位数 • 英文 median • 德文 Median • 法文 médiane • 日文 中央値 (ちゅうおうち) • 韩文 중위수 (中位數)