Borel–Cantelli 引理

Borel–Cantelli 引理是概率论中的结论, 是一种基本的零一律. 它说明, 假设有无穷个随机事件, 则在一定条件下, 这些事件中有无穷多个事件同时发生的概率是 $0$ 或 $1$, 取决于这些事件发生的概率之和是否有限.

1陈述与证明

定义 1.1 (上极限). 设 $(A_n{)}_{n\ge 1}$ 是一列集合. 则其上极限定义为集合$$\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}{A}_n=\bigcap _{k=1}^{\infty }\bigcup _{n=k}^{\infty }{A}_n.$$

在上述定义中, 若 $A_n$ 是某个概率空间 $(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P}$ 中的事件, 则上极限 $\mathrm{limsup}{A}_n$ 也可等价地表述为$$\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}{A}_n=\{\omega \in \Omega \mid \text{存在无穷多个 }n\text{ 使得 }\omega \in A_n\}.$$也就是说, 事件 $\mathrm{limsup}{A}_n$ 描述的是 “在所有事件 $A_n$ 中, 有无穷多个事件同时发生”. 有时也将 $\mathrm{limsup}{A}_n$ 记为 $A_{n}i.o.$, 其中 $i.o.$ 为 “无穷多次发生” 之英文简称.

定理 1.2 (Borel–Cantelli 引理). 设 $(A_n{)}_{n\ge 1}$ 是概率空间 $(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 中的一列事件.

•	如果$$\sum _{n=1}^{\infty }\mathbb{P}(A_n)<+\infty ,$$则$$\mathbb{P}\left(\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}{A}_n\right)=0.$$

•	如果 $(A_n)$ 相互独立, 且$$\sum _{n=1}^{\infty }\mathbb{P}(A_n)=+\infty ,$$则$$\mathbb{P}\left(\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}{A}_n\right)=1.$$

证明. 对第一条, 有$$\mathbb{P}\left(\bigcap _{k=1}^{\infty }\bigcup _{n=k}^{\infty }{A}_n\right)=\underset{k\to \infty }{\lim }\mathbb{P}\left(\bigcup _{n=k}^{\infty }{A}_n\right).$$根据条件和 Boole 不等式, 得$$\underset{k\to \infty }{\lim }\mathbb{P}\left(\bigcup _{n=k}^{\infty }{A}_n\right)\le \underset{k\to \infty }{\lim }\sum _{n=k}^{\infty }\mathbb{P}(A_n)=0,$$所以 $\mathbb{P}(\mathrm{limsup}{A}_n)=0$.

对第二条, 记 ${\bar{A}}_n$ 为 $A_n$ 的补集. 考虑事件 $\mathrm{limsup}{A}_n$ 的补集, 其概率为$$\mathbb{P}\left(\bigcup _{k=1}^{\infty }\bigcap _{n=k}^{\infty }{\bar{A}}_n\right)=\underset{k\to \infty }{\lim }\mathbb{P}\left(\bigcap _{n=k}^{\infty }{\bar{A}}_n\right).$$对 $K>k$, 根据独立性和不等式 $1-x\le {\mathrm{e}}^{-x}$, 可得$$\begin{array}{rl}\mathbb{P}\left(\bigcap _{n=k}^K{\bar{A}}_n\right)& =\prod _{n=k}^K\mathbb{P}({\bar{A}}_n)\\ & =\prod _{n=k}^K(1-\mathbb{P}(A_n))\\ & \le \exp \left(-\sum _{n=k}^K\mathbb{P}(A_n)\right).\end{array}$$令 $K\to \infty$, 根据假设, 指数函数中的部分趋于 $-\infty$, 所以等式右边趋于零. 所以$$\mathbb{P}\left(\bigcup _{k=1}^{\infty }\bigcap _{n=k}^{\infty }{\bar{A}}_n\right)=\underset{k\to \infty }{\lim }\mathbb{P}\left(\bigcap _{n=k}^{\infty }{\bar{A}}_n\right)=0,$$即 $\mathbb{P}(\mathrm{limsup}{A}_n)=1$.

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2变体

定理 2.1. 在定理 1.2 的第二部分中, 把随机变量序列相互独立减弱为两两独立, 结论仍成立.

证明.

证明. 记 $I_n=I(A_n)$ 为指示变量. 则两两独立可以推出 $\mathrm{Cov}(I_m,I_n)=0(m\ne n)$, 而级数条件可以改写为$$\sum _{n=1}^{\infty }\mathbb{E}(I_n)=+\infty .$$考虑随机变量级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{I}_n$. 对任意 $\omega \in \Omega$, 这个级数发散当且仅当使得 $I_n(\omega )=1$ 的 $n$ 有无限个. 即$$\mathbb{P}\left(\underset{n\to \infty }{\mathrm{limsup}}{A}_n\right)=\mathbb{P}\left(\sum _{n=1}^{\infty }{I}_n=+\infty \right).$$下面证明右边的概率等于 $1$. 令 $J_k={\sum }_{n=1}^k{I}_n$, 由 Chebyshev 不等式: 对任意 $A>0$ 有$$\mathbb{P}(|J_k-\mathbb{E}(J_k)|<A\sigma (J_k))\ge 1-\frac{1}{A^2}.$$(1)令 $p_n=\mathbb{P}(A_n)=\mathbb{E}(I_n)$, 则结合独立性得$$\mathbb{E}(J_k)=\sum _{n=1}^k{p}_n\to +\infty ,k\to \infty ,$$$$\begin{array}{rl}\mathrm{Var}(J_k)& =\sum _{n=1}^k\mathrm{Var}(I_n)\\ & =\sum _{n=1}^k(\mathbb{E}(I_n^2)-\mathbb{E}(I_n{)}^2)\\ & =\sum _{n=1}^k(p_n-p_n^2).\end{array}$$于是 $\sigma (J_k)=\sqrt{\mathrm{Var}(J_k)}\le \sqrt{\mathbb{E}(J_k)}$, 即 $\sigma (J_k)=o(\mathbb{E}(J_k)),k\to \infty$. 令 $k$ 充分大, 结合 (1) 式就得到$$\mathbb{P}\left(J_k>\frac{1}{2}\mathbb{E}(J_k)\right)\ge 1-\frac{1}{A^2}.$$因为 $J_k$ 是不减的, 故上式中用 ${\lim }_{k\to \infty }{J}_k$ 代替 $J_k$, 式子仍成立. 再令 $k\to \infty$, 得$$\mathbb{P}\left(\underset{k\to \infty }{\lim }{J}_k=+\infty \right)\ge 1-\frac{1}{A^2}.$$最后令 $A\to +\infty$ 即可.

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3相关概念

术语翻译

Borel–Cantelli 引理 • 英文 Borel–Cantelli lemma • 德文 Borel-Cantelli-Lemma (n) • 法文 théorème de Borel–Cantelli (m) • 日文 Borel–Cantelli の補題 • 韩文 Borel–Cantelli 보조정리