随机变量

随机变量是概率论中的基本概念, 描述可以 “随机取值” 的变量. 例如, 掷一枚正常的骰子, 得到的点数 $X$ 就是一个随机变量, 它以 $1/6$ 的概率分别取 $1,2,3,4,5,6$ 这 $6$ 个值.

严格地说, 在以测度论为基础的概率论中, 随机变量就是从概率空间出发的可测函数. 概率空间的元素对应于每种可能发生的情况, 而该可测函数在该元素的取值就是在这种情况发生时, 该随机变量的取值.

1定义

定义 1.1 (随机变量). 设 $(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 为概率空间, $(E,\mathcal{G})$ 为可测空间. 则 $\Omega$ 上取值于 $E$ 的随机变量就是指可测函数$$X:\Omega ⟶E.$$

直观来看, 说 $X$ 是取值于 $E$ 的随机变量, 大致的含义是 $X$ 会随机地给出 $E$ 的元素.

常常取 $E=\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$, 并配以 Borel $\sigma$-代数而成为可测空间. 此时的随机变量$$X:\Omega ⟶\mathbb{R}\text{ 或 }\mathbb{C}$$分别称为实值随机变量、复值随机变量.

2运算

•	对取值于可测空间 $E$ 的随机变量 $X$, 若有可测空间 $F$ 和可测函数 $f:E\to F$, 则可以定义取值于 $F$ 的随机变量 $f(X)$, 也就是复合映射 $f\circ X:\Omega \to F$. ∘ 特别地, 对实值或复值随机变量 $X,Y$, 可以定义随机变量 $X+Y$, $X-Y$, $XY$ 等, 由实值或复值函数的和、差、积给出.

•

设 $X$ 是取值于可测空间 $E$ 的随机变量 $X$. 对可测集 $F\subset E$, 有事件 “$X\in F$”, 定义为$$(X\in F)=\{\omega \in \Omega \mid X(\omega )\in F\}.$$特别地, 对实值随机变量 $X$ 和实数 $a\in \mathbb{R}$, 可以定义事件 “$X<a$”, “$X\le a$”, 等等. ∘ 特别地, 对元素 $e\in E$, 若 $\{e\}$ 是 $E$ 中的可测集, 则有事件 “$X=e$”, 定义为$$(X=e)=\{\omega \in \Omega \mid X(\omega )=e\}.$$类似地, 也有其对立事件 $X\ne e$.

3相关概念

术语翻译

随机变量 • 英文 random variable • 德文 Zufallsvariable (f) • 法文 variable aléatoire (f) • 日文 確率変数 (かくりつへんすう) • 韩文 확률 변수 (確率變數)