条件方差

条件方差通俗来说, 就是在一定条件下随机变量的方差.

1定义

定义 1.1. 设 $X$ 是概率空间 $(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 上的随机变量, $\mathcal{G}\subset \mathcal{F}$ 是子 $\sigma$-代数, 则可以定义条件期望 $\mu =\mathbb{E}(X\mid \mathcal{G})$. 定义 $X$ 的条件方差为$$\mathrm{Var}(X\mid \mathcal{G})=\mathbb{E}((X-\mu {)}^2\mid \mathcal{G})$$也可以写成$$\mathrm{Var}(X\mid \mathcal{G})=\mathbb{E}(X^2\mid \mathcal{G})-{\mu }^2$$与条件期望同样地, 对于随机变量 $X,Y$, 也可以讨论 $\mathrm{Var}(X\mid Y)$ 的概念.

2性质

命题 2.1 (条件方差公式). 设 $X$ 是概率空间 $(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 上的随机变量, $\mathcal{G}\subset \mathcal{F}$ 是子 $\sigma$-代数, 则$$\mathrm{Var}(X)=\mathrm{Var}(\mathbb{E}(X\mid \mathcal{G}))+\mathbb{E}(\mathrm{Var}(X\mid \mathcal{G}))$$

证明. 令 $\mu =\mathbb{E}(X\mid \mathcal{G})$, 则 $\mathbb{E}(\mu )=\mathbb{E}(X)$. 此时$$\begin{array}{rl}& \mathrm{Var}(\mathbb{E}(X\mid \mathcal{G}))+\mathbb{E}(\mathrm{Var}(X\mid \mathcal{G}))\\ & =\mathrm{Var}(\mu )+\mathbb{E}(\mathbb{E}(X^2\mid \mathcal{G})-{\mu }^2)\\ & =\mathbb{E}(\mathbb{E}(X^2\mid \mathcal{G}))+\mathrm{Var}(\mu )-\mathbb{E}({\mu }^2)\\ & =\mathbb{E}(X^2)-(\mathbb{E}(\mu ){)}^2\\ & =\mathbb{E}(X^2)-(\mathbb{E}(X){)}^2=\mathrm{Var}(X)\end{array}$$

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术语翻译

条件方差 • 英文 conditional variance