累积分布函数

在概率论中, 累积分布函数 (又称为概率分布函数, 可简称分布函数) 是实值随机变量的一种性质. 对实值随机变量 $X$, 其累积分布函数定义为$$F_X(x)=\mathbb{P}(X\le x),$$它是 $\mathbb{R}$ 上取值于 $[0,1]$ 的递增函数. 累积分布函数仅取决于随机变量的概率分布.

1定义

定义 1.1 (累积分布函数). 设 $X$ 是概率空间 $(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 上的实值随机变量. 则 $X$ 的累积分布函数 $F_X:\mathbb{R}\to [0,1]$ 定义为$$F_X(x)=\mathbb{P}(X\le x).$$

对实值随机变量 $X$, 上述定义也可以等价地表述如下.

•	设 $\mu$ 是 $X$ 的概率分布. 则 $X$ 的累积分布函数为$$F_{\mu }(x)=\mu (]-\infty ,x]),$$即区间 $]-\infty ,x]$ 的测度. 因此, 也说 $F_{\mu }$ 是概率分布 $\mu$ 的累积分布函数.

•	若 $X$ 是离散型随机变量, 其所有可能取值为 $x_1,x_2,\dots$, 且取值 $x_i$ 的概率为 $p_i$. 则 $X$ 的累积分布函数为$$F_X(x)=\sum _{x_i\le x}{p}_i.$$

•	若 $X$ 是连续型随机变量, 其概率密度函数为 $p$, 则 $X$ 的累积分布函数为 Lebesgue 积分$$F_X(x)={\int }_{-\infty }^{x}p(t)\mathrm{d}t.$$

对随机向量, 可以定义多元版本的累积分布函数.

定义 1.2 (多元累积分布函数). 设 $\mathbf{X}=(X_1,\cdots ,X_n{)}^{\top }$ 是概率空间 $(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 上的随机向量. 则 $\mathbf{X}$ 的累积分布函数 (又称为联合分布函数) $F_X:{\mathbb{R}}^n\to [0,1]$ 定义为$$F_{\mathbf{X}}(x_1,\dots ,x_n)=\mathbb{P}(X_1\le x_1,\dots ,X_n\le x_n).$$

对随机向量 $\mathbf{X}$, 上述定义也可等价表述如下.

•	设 $\mu$ 是 $\mathbf{X}$ 的概率分布. 则 $\mathbf{X}$ 的累积分布函数为$$F_{\mu }(x_1,\dots ,x_n)=\mu (]-\infty ,x_1]\times \cdots \times ]-\infty ,x_n]).$$因此, 也说 $F_{\mu }$ 是概率分布 $\mu$ 的累积分布函数.

•	若 $\mathbf{X}$ 具有概率密度函数 $p$, 则 $\mathbf{X}$ 的累积分布函数为$$F_{\mathbf{X}}(x_1,\dots ,x_n)={\int }_{-\infty }^{x_1}\cdots {\int }_{-\infty }^{x_n}p\mathrm{d}\mathbf{x}.$$因此, 也说 $F_{\mu }$ 是概率分布 $\mu$ 的累积分布函数.

注意到, 与实值随机变量的情形不同, 随机向量的累积分布函数取决于其所取值的向量空间的基的选取. 也就是说, 若选取 ${\mathbb{R}}^n$ 的一组不同的基, 并将随机向量 $\mathbf{X}$ 用新的基写出, 则新的累积分布函数并不能写成原来的累积分布函数加上一个线性变换的形式.

2性质

基本性质

•

设 $F:\mathbb{R}\to [0,1]$ 是某个随机变量的累积分布函数. 则 ∘ $F$ 是递增函数. ∘ $F$ 是右连续函数. ∘ 有 ${\lim }_{x\to -\infty }F(x)=0$, 且 ${\lim }_{x\to +\infty }F(x)=1$. 反过来, 满足上述三条的函数一定能写成某个随机变量的累积分布函数. 例如, 令 $\Omega =]0,1[$, 赋予 Lebesgue 测度而成为概率空间, 定义其上实值随机变量 $X:\Omega \to \mathbb{R}$ 为$$X(p)=\sup \{x\in \mathbb{R}\mid F(x)\le p\},$$则 $F$ 是 $X$ 的累积分布函数.

Lebesgue 分解

将测度论中的 Lebesgue 分解定理应用于累积分布函数, 可得到以下结论.

命题 2.1. 每个累积分布函数 $F$ 都可唯一地分解成一个阶梯的分布函数 $F_1$、一个绝对连续的分布函数 $F_2$、和一个奇异连续的分布函数 $F_3$ 的凸组合. 也就是说, 有$$F(x)=\sum _{i=1}^3{a}_i{F}_i(x),$$其中 $a_i\ge 0$, $\sum a_i=1$, 且每个 $F_i$ 都是某个概率分布的累积分布函数.

3相关概念

术语翻译

累积分布函数 • 英文 cumulative distribution function (CDF) • 德文 Verteilungsfunktion (f) • 法文 fonction de répartition (f) • 日文 累積分布関数 (るいせきぶんぷかんすう) • 韩文 누적 분포 함수 (累積分布函數)