超几何分布

在概率论中, 超几何分布是一种常见的概率分布. 考虑以下情景: 假设口袋中有 $N$ 个小球, 其中有 $K$ 个白球和 $(N-K)$ 个黑球. 从口袋中随机拿出 $n$ 个小球, 并假设其中有 $X$ 个白球和 $(n-X)$ 个黑球. 则随机变量 $X$ 的概率分布就是超几何分布.

类似地, 也可以考虑有多种颜色小球的情况, 得到的概率分布称为多元超几何分布.

1定义

定义 1.1 (超几何分布). 设 $N,K,n$ 是自然数, 满足 $n,K\le N$. 设 $X$ 为取值于 $\mathbb{N}$ 的离散型随机变量. 如果对任意 $k\in \mathbb{N}$, 有$$\mathbb{P}(X=k)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{K}{k}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N-K}{n-k}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n}\right)},$$则称 $X$ 服从超几何分布, 记为 $X\sim H(n,K,N)$.

在上述记号下, $X$ 能以非零概率取到的所有值为$$\{k\in \mathbb{N}\mid \max (0,n+K-N)\le k\le \min (n,K)\}.$$

定义 1.2 (多元超几何分布). 设 $N,n,m$ 是自然数, 满足 $n\le N$. 设自然数 $K_1,\cdots ,K_m$ 满足 ${\sum }_{s=1}^m{K}_s=N$. 如果离散型随机向量 $\mathbf{X}$ 满足: 对任意自然数 $k_1,\cdots ,k_m$, 如果 ${\sum }_{s=1}^m{k}_s=n$, 则$$\mathbb{P}(X_1=k_1,\cdots ,X_m=k_m)=\frac{1}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n}\right)}\prod _{s=1}^m\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{K_s}{k_s}\right),$$那么称 $\mathbf{X}$ 服从 $\mathbf{m}$ 元超几何分布.

在上述记号下, $\mathbf{X}$ 能以非零概率取到的所有值为$$\{(k_1,\cdots ,k_m)\in {\mathbb{N}}^m\mid k_1+\cdots +k_m=n,k_s\le K_s(1\le s\le m)\}.$$

2性质

基本性质

•

设随机变量 $X\sim H(n,K,N)$. ∘ $X$ 的期望是 $\mathbb{E}(X)=\frac{nK}{N}$. ∘ $X$ 的方差是 $\mathrm{Var}(X)=\frac{nK}{N}\cdot \frac{N-K}{N}\cdot \frac{N-n}{N-1}$. ∘ $X$ 的特征函数可以用超几何函数来表示: $${\varphi }_X(t)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N-K}{n}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n}\right)}{{}_2\mathrm{F}}_1(-n,-K;N-K-n+1;{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}t})$$这也是超几何分布得名原因.

•	设随机向量 $\mathbf{X}$ 按定义 1.2 服从多元超几何分布. ∘ 多元超几何分布的任意 $p$ 维边缘分布是 $p$ 元超几何分布, 其中 $2\le p\le m-1$. 特别地: $X_i\sim H(n,K_i,N)$. ∘ 各分量的期望和方差与一元情形一致. 协方差为$$\mathrm{Cov}(X_i,X_j)=-\frac{n{K}_i{K}_j}{N^2}\cdot \frac{N-n}{N-1}(i\ne j).$$

超几何分布的近似

超几何分布在 $N$ 很大时趋于二项分布. 这是因为, 例如在引言的例子中, 如果小球的个数 $N$ 非常大, 则取出每个小球对总体的影响很小, 故取出每个小球时, 它是白球的概率近似不变, 从而白球的个数近似满足二项分布.

命题 2.1 (超几何分布近似于二项分布). 设随机变量 $X_N$ 服从超几何分布 $H(n,K_N,N)$. 如果$$\underset{N\to \infty }{\lim }\frac{K_N}{N}=p>0,$$则对任意的 $0\le k\le n$, 有$$\underset{N\to \infty }{\lim }\mathbb{P}(X_N=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}.$$

进一步, 根据中心极限定理, 二项分布在 $n$ 很大时接近于正态分布. 于是, 如果在 $X\sim H(n,K,N)$ 中 $n,K,N$ 都很大 (但需满足 $n,K\le N$), 则有近似表达式$$\mathbb{P}(X\le k)\approx \Phi \left(\frac{k-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right),$$其中 $p=K/N$, $\Phi$ 是标准正态分布的累积分布函数.

3相关概念

术语翻译

超几何分布 • 英文 hypergeometric distribution • 德文 hypergeometrische Verteilung (f) • 法文 loi hypergéométrique (f) • 日文 超幾何分布 (ちょうきかぶんぷ) • 韩文 초기하 분포 (超幾何分布)