矩

在概率论中, 矩是随机变量的一种性质. 对自然数 $n$, 随机变量的 $n$ 阶矩大致就是其 $n$ 次幂的期望.

1定义

定义 1.1 (矩). 设 $X$ 是概率空间 $(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 上的实值随机变量, 并设 $c\in \mathbb{R}$.

•	对自然数 $n$, 如果存在期望$${\mu }_n=\mathbb{E}((X-c{)}^n),$$则称之为 $X$ 关于 $c$ 的 $\mathbf{n}$ 阶矩. 特别地, 如果 $c=0$, 则称上述矩为 $\mathbf{n}$ 阶原点矩; 如果 $c=\mathbb{E}(X)$, 则称之为 $\mathbf{n}$ 阶中心矩.

例如,

•	实值随机变量的一阶原点矩是其期望.

•	实值随机变量的二阶中心矩是其方差.

下面的概念常见于统计学, 用来衡量概率分布的形状.

定义 1.2 (标准矩、偏度、峰度). 若实值随机变量 $X$ 存在标准差 $\sigma$, 则对自然数 $n$, 定义 $X$ 的 $\mathbf{n}$ 阶标准矩为$${\hat{\mu }}_n=\frac{{\mu }_n}{{\sigma }^n},$$其中 ${\mu }_n$ 为 $n$ 阶中心矩.

特别地, 三阶标准矩称为偏度. 四阶标准矩减 $3$ 称为峰度, 减 $3$ 的目的是使标准正态分布的峰度为 $0$.

2性质

基本性质

设 $r$ 是自然数, 随机变量 $X$ 的 $r$ 阶中心矩用 ${\mu }_r(X)$ 表示.

•	对实数 $a,b$, 有$${\mu }_r(bX+a)=b^r{\mu }_r(X).$$

•	对自然数 $r$, 式子 ${\mu }_r(X+Y)={\mu }_r(X)+{\mu }_r(Y)$ 对相互独立的随机变量 $X,Y$ 恒成立当且仅当 $r\in \{1,2,3\}$.

峰度

下面这条性质与峰度有关. 设 $X$ 的峰度用 $\mathrm{Kurt}(X)$ 表示.

•	如果 $X_1,\cdots ,X_n$ 是方差相等的独立随机变量, 则$$\mathrm{Kurt}\left(\sum _{k=1}^n{X}_k\right)=\frac{1}{n^2}\sum _{k=1}^n\mathrm{Kurt}(X_k).$$

特征函数与矩母函数

设随机变量 $X$ 的特征函数和矩母函数分别是 ${\varphi }_X(t),M_X(t)$, 它们都存在且无穷阶可导.

•	对 $n\in \mathbb{N}$, 用特征函数表示 $n$ 阶原点矩: $$\mathbb{E}(X^n)=\frac{1}{{\mathrm{i}}^n}{\varphi }_X^{(n)}(0);$$

•	用矩母函数表示: $$\mathbb{E}(X^n)=M_X^{(n)}(0).$$

矩的不等式

不失一般性, 下面只考虑原点绝对矩.

命题 2.1 ($C_r$ 不等式). 设 $r>0$. 如果随机变量 $X_1,X_2$ 均存在 $r$ 阶绝对矩, 则$$\mathbb{E}(|X_1+X_2{|}^r)\le C_r(\mathbb{E}(|X_1{|}^r)+\mathbb{E}(|X_2{|}^r)),$$其中常数$$C_r=\{\begin{array}{ll}{2}^{r-1},& r\ge 1,\\ 1,& 0<r<1.\end{array}$$

证明. 如果 $r\ge 1$, 则函数 $x^r$ 是凸函数, 得到$${\left|\frac{X_1+X_2}{2}\right|}^r\le {\left(\frac{|X_1|+|X_2|}{2}\right)}^r\le \frac{|X_1{|}^r+|X_2{|}^r}{2},$$即 $|X_1+X_2{|}^r\le 2^{r-1}(|X_1{|}^r+|X_2{|}^r)$. 两边取期望即证.

如果 $r<1$, 则若 $|X_1|+|X_2|\ne 0$, 则$$|X_1+X_2{|}^r\le (|X_1|+|X_2|{)}^r=\frac{|X_1|}{(|X_1|+|X_2|{)}^{1-r}}+\frac{|X_2|}{(|X_1|+|X_2|{)}^{1-r}}\le |X_1{|}^r+|X_2{|}^r.$$两边取期望即证.

$\square$

下面的结论说明矩关于阶数具有某种单调性.

命题 2.2 (幂平均不等式). 设 $X$ 为随机变量, $0<s<r$. 如果 $X$ 的 $r$ 阶绝对矩存在, 则 $s$ 阶绝对矩也存在, 且$$\mathbb{E}(|X{|}^s{)}^{1/s}\le (\mathbb{E}(|X{|}^r){)}^{1/r}.$$

证明. 令 $f(x)=x^{\frac{r}{s}}$, 则 $f$ 是 $[0,+\infty [$ 上的凸函数. 令 $Y=|X{|}^s$, 由 Jensen 不等式: $$\mathbb{E}(|X{|}^s{)}^{r/s}=g(\mathbb{E}(Y))\le \mathbb{E}(g(Y))=\mathbb{E}(|X{|}^r)<\infty .$$两边 $1/r$ 次方即得.

$\square$

这个不等式也叫 Lyapunov 不等式. 如果令 $s=1$, 则对 $r\ge 1$ 有$$\mathbb{E}(|X|)\le \mathbb{E}(|X{|}^r{)}^{1/r}.$$

下面的两个不等式参见条目 $L^p$ 空间和 Hölder 不等式.

命题 2.3 (Hölder 不等式). 设 $p,q>1$, 满足 $1/p+1/q=1$. 如果随机变量 $X,Y$ 分别存在 $p,q$ 阶绝对矩, 则 $XY$ 存在期望, 且$$\mathbb{E}(|XY|)\le \mathbb{E}(|X{|}^p{)}^{1/p}\mathbb{E}(|Y{|}^q{)}^{1/q}.$$

在上述不等式中令 $Y=1$, 也能得到幂平均不等式.

命题 2.4 (Minkowski 不等式). 如果 $p\ge 1$, 则对存在 $p$ 阶绝对矩的随机变量 $X_1,\cdots ,X_n$: $$\mathbb{E}{\left({\left|\sum _{k=1}^n{X}_k\right|}^p\right)}^{1/p}\le \sum _{k=1}^n\mathbb{E}(|X_k{|}^p{)}^{1/p}.$$

最后, 通过 Markov 不等式, 我们不难证明

命题 2.5. 设随机变量 $X$ 的 $r$ 阶绝对矩存在, $r>0$. 则对任意 $a>0$: $$\mathbb{P}(|X|\ge a)\le \frac{\mathbb{E}(|X{|}^r)}{a^r}.$$

即可以通过矩估计分布情况.

3相关概念

术语翻译

矩 • 英文 moment • 德文 moment • 法文 moment • 日文 モーメント, 積率 (せきりつ) • 韩文 모멘트

中心矩 • 英文 central moment

原点矩 • 英文 origin moment, raw moment

标准矩 • 英文 standardized moment

偏度 • 英文 skewness • 德文 Schiefe • 法文 asymétrie • 日文 歪度 (わいど) • 韩文 비대칭도 (非對稱度)

峰度 • 英文 kurtosis • 德文 Wölbung • 法文 kurtosis • 日文 尖度 (せんど) • 韩文 첨도 (尖度)