标准差

在概率论中, 随机变量的标准差描述了该随机变量取值的发散程度, 是方差的平方根. 大致来说, 标准差是随机变量的取值与其期望的平均差距.

在统计学中, 也谈论一组数据的标准差. 这是将这组数据视为某个未知的随机变量的取值, 而推测出的该随机变量的标准差. 与上面类似, 标准差大致是一组数据与其均值的平均差距.

1定义

在概率论中

定义 1.1 (标准差). 在概率空间 $(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 中, 考虑随机变量 $X:\Omega \to \mathbb{R}$. 则 $X$ 的标准差定义为$$\sigma (X)=\sqrt{\mathrm{Var}(X)},$$其中 $\mathrm{Var}(X)$ 是 $X$ 的方差.

在统计学中

在统计学中, 对一组数据 $x_1,\dots ,x_n\in \mathbb{R}$, 有两种不同的标准差, 分别称为总体标准差与样本标准差.

定义 1.2. 对自然数 $n$ 及数据 $x_1,\dots ,x_n\in \mathbb{R}$, 记$$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$$为其均值. 则这组数据的总体标准差定义为其总体方差的平方根, 即$$\sigma =\sqrt{{\sigma }^2}=(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2{)}^{1/2}.$$其样本标准差定义为其样本方差的平方根, 即$$S=\sqrt{S^2}=(\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2{)}^{1/2}.$$

2例子

3性质

基本性质

•	对实数 $c\in \mathbb{R}$ 和随机变量 $X$, 有 ∘ $\sigma (cX)=|c|\cdot \sigma (X)$. ∘ $\sigma (X+c)=\sigma (X)$.

术语翻译

标准差 • 英文 standard deviation • 德文 Standardabweichung (f) • 法文 écart type (m)