Chebyshev 不等式

本文介绍的是概率论中的不等式. 关于初等数学的同名不等式, 请参见 “排序不等式”.

Chebyshev 不等式是概率论中的不等式, 它说明随机变量若存在方差, 则它取离期望值较远的值的概率不能高于某个上界.

1定理与证明

定理 1.1 (Chebyshev 不等式). 设 $X$ 是概率空间 $(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 上的实值随机变量. 如果 $X$ 存在有限的方差 (从而也存在期望), 则对任意 $b>0$, 有$$\mathbb{P}(|X-\mathbb{E}(X)|\ge b)\le \frac{\mathrm{Var}(X)}{b^2}.$$

证明. 根据 Markov 不等式, $$\begin{array}{rl}\mathbb{P}(|X-\mathbb{E}(X)|\ge b)& =\mathbb{P}((X-\mathbb{E}(X){)}^2\ge b^2)\\ & \le \frac{\mathbb{E}(X-\mathbb{E}(X){)}^2}{b^2}\\ & =\frac{\mathrm{Var}(X)}{b^2}.\end{array}$$

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由上述定理的证明, 可以得到以下更一般的结论, 有时也称为 Chebyshev 不等式.

定理 1.2 (Chebyshev 不等式, 推广). 设 $X$ 是随机变量, $g:[0,+\infty [\to [0,+\infty [$ 是递增函数, 满足 $\mathbb{E}(g(|X|))<+\infty$. 如果正数 $a$ 满足 $g(a)>0$, 则$$\mathbb{P}(|X|\ge a)\le \frac{\mathbb{E}(g(|X|))}{g(a)}.$$

证明. 因为 $g$ 是增函数, 故有事件包含关系$$(|X|\ge a)\subseteq (g(|X|)\ge g(a)),$$于是由 Markov 不等式, $$\begin{array}{rl}\mathbb{P}(|X|\ge a)& \le \mathbb{P}(g(|X|)\ge g(a))\\ & \le \frac{\mathbb{E}(g(|X|))}{g(a)}.\end{array}$$

$\square$

2例子

•	在定理 1.1 中, 若取 $b=k\sigma$, 其中 $\sigma$ 为 $X$ 的标准差, $k>0$ 为任意正数, 则得到$$\mathbb{P}(|X-\mathbb{E}(X)|\ge k\sigma )\le \frac{1}{k^2}.$$由此, 我们得到 $X$ 的取值落在 $k$ 个标准差之外的概率的上界.

3相关概念

术语翻译

Chebyshev 不等式 • 英文 Chebyshev’s inequality • 德文 tschebyscheffsche Ungleichung (f) • 法文 inégalité de Tchebychev (f) • 日文 Chebyshev の不等式 • 韩文 Chebyshev 부등식