随机向量

在概率论中, 随机向量是指取值于向量空间的随机变量. 例如, 对 $n$ 个实值随机变量 $X_1,\dots ,X_n$, 有随机向量$$\mathbf{X}=(X_1,\dots ,X_n),$$它取值于向量空间 ${\mathbb{R}}^n$. 因此, 随机向量也可以视为 $n$ 个实值随机变量组成的序列.

1定义

定义 1.1 (随机向量). 对有限维实或复向量空间 $V$, 我们将其配以 Borel $\sigma$-代数而使之成为可测空间. 则概率空间 $(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 上的随机向量是指取值于上述可测空间 $V$ 的随机变量$$\mathbf{X}:\Omega ⟶V.$$

若 $V$ 是 $n$ 维空间, 则也称 $\mathbf{X}$ 为 $\mathbf{n}$ 维随机向量.

当 $V={\mathbb{R}}^n$ 或 ${\mathbb{C}}^n$ 时, 常常将 $\mathbf{X}$ 表示为行向量或列向量的形式, 即$$\mathbf{X}=(X_1,\dots ,X_n)\text{或}\mathbf{X}=(X_1,\dots ,X_n{)}^{\top },$$其中 $X_1,\dots ,X_n$ 为实值或复值随机变量, 也就是映射 $\mathbf{X}:\Omega \to V$ 的各个分量.

2相关概念

术语翻译

随机向量 • 英文 random vector • 德文 Zufallsvektor (m) • 法文 vecteur aléatoire (m) • 日文 確率ベクトル (かくりつべくとる)