子对象分类子

子对象分类子是子对象 (即单态射) 的分类子.

在 $\mathsf{Set}$ 中, 任何子集 $A\subset X$ 对应一个特征映射 ${\chi }_A:X\to \{0,1\}$, 将 $A$ 中的元素发送到 $1$, 其余元素发送到 $0$. 该映射使得如下交换图是拉回:

$$A\{1\}X\{0,1\}┌子对象分类子{\chi }_A$$

这可以看作一种对 $X$ 的元素 “分类” 的过程.

1定义

定义 1.1. 在某个范畴中, 子对象分类子 (若存在) 是一个特定的单态射 $P\to \Omega$, 其中:

•	$\Omega$ 叫做真值对象,

•	对于任意单态射 $A\hookrightarrow X$ 都存在对应的特征态射 ${\chi }_A:X\to \Omega$ 使得如下图表为拉回: $$APX\Omega ┌子对象分类子{\chi }_A$$

注 1.2. 子对象分类子一旦存在, $P$ 就必然是终对象.

2例子

在集合范畴中

集合范畴中的真值对象是 $\{0,1\}$, 子对象分类子是 $\{1\}\hookrightarrow \{0,1\}$.

在位象的层范畴中

定理 2.1. 令 $L$ 为位象, 其层范畴 $\mathsf{Sh}(L)$ 的真值对象为如下层: $$\begin{array}{rl}\Omega & :L\to \mathsf{Set}\\ & u\mapsto \{v\in L\mid v\le u\}\end{array}$$那么如下自然变换便是 $\mathsf{Sh}(L)$ 的子对象分类子: $$\begin{array}{rl}1& \to \Omega \\ \star & \mapsto u\end{array}$$子层 $S\subseteq F$ 对应的特征态射 ${\chi }_S:F\to \Omega$ 对于 $a\in F(u)$ 给出满足 $a{|}_v\in S(v)$ 的最大元素 $v$.

$\Omega (u)$ 给出比 $u$ 小的所有元素的集合, 而子层 $S\subseteq F$ 满足对于任意 $u$ 有 $S(u)\subseteq F(u)$.

在有向图范畴中

定理 2.2. 有向图范畴中的真值对象如下所示: 子图 $H\subseteq G$ 对应的特征态射 ${\chi }_H$ 为如下图同态:

•	将 $H$ 中的顶点映射到蓝色的顶点, 其余映射到灰色的顶点.

•	将 $H$ 中的边映射到蓝色的边, 其余映射到灰色的边. 注意灰色的边有四条, 分别对应边的两个顶点属于或不属于 $H$ 的情况.

3性质

(..)

术语翻译

子对象分类子 • 英文 subobject classifier

特征态射 • 英文 characteristic morphism

真值对象 • 英文 object of truth values