完全不可分元

完全不可分元是域扩张中扩域中的一类元素, 与可分元完全相反, 这类元素的极小多项式在扩域的代数闭包中只有一个根 (见命题 2.3).

1定义

定义 1.1. 设 $K/k$ 是域扩张, $k$ 的特征是素数 $p$. 如果对于 $K$ 的在 $k$ 上代数的元素 $u$, 存在正整数 $m$ 使得 $u^{p^m}\in k$, 则称 $u$ 是 $k$ 上的完全不可分元.

2性质

命题 2.1 和 2.3 刻画了两个完全不可分元的等价定义.

基本性质

命题 2.1. 记号同上, $u$ 是 $k$ 上的完全不可分元 $⟺$ $u$ 在 $k$ 上代数, 且极小多项式是 $x^{p^l}-a$, $l$ 是某一非负整数

证明. $⟹$: 设正整数 $m$ 使得 $u^{p^m}=a\in k$. 则 $u$ 在 $k$ 上的极小多项式 $\psi$ 是 $x^{p^m}-a$ 的因式. 设 $\Omega$ 为 $k(u)$ 的一个代数闭包 (从而也是 $k$ 的一个代数闭包). 因为 $x^{p^m}-a=x^{p^m}-u^{p^m}=(x-u{)}^{p^m}$ 在 $\Omega$ 只有 $u$ 一个根, 所以 $u$ 在 $k$ 上的极小多项式 $\psi$ 在 $\Omega$ 中只有 $u$ 一根. 设 $\psi (x)=\phi (x^{p^l})$, 其中 $\phi (x)$ 在 $k$ 上可分. 如果 $\phi$ 在 $\Omega$ 有两个不同零点 $x_1$ 和 $x_2$, 设 $y_1$, $y_2\in \Omega$ 满足 $y_1^{p^l}=x_1$, $y_2^{p^l}=x_2$, 则 $y_1$, $y_2$ 是 $\psi$ 的两个不相等的根, 矛盾. 所以 $\phi$ 在 $\Omega$ 中仅一根. 又因为 $\phi$ 可分且它属于 $k[x]$, 所以 $\phi (x)=x-a$, $a\in k$, 从而 $\psi (x)=x^{p^l}-a$, $a\in k$.

$⟸$: $u^{p^l}\in k$.

$\square$

注 2.2. 如果 $u\in K$ 只满足存在正整数 $n$ 使得 $u^n\in k$, 不能推出 $u$ 在 $k$ 上完全不可分. 例如考虑三元域 $F_3=\{\bar{0},\bar{1},\bar{2}\}$ 与其代数闭包 $\Omega$. 设 $u\in \Omega$ 使得 $u^2=\bar{2}$. 因为 $\psi (x)=x^2-\bar{2}$ 在 $F_3$ 上无解, 所以它在 $F_3$ 上不可约, 从而是 $u$ 在 $F_3$ 上的极小多项式. 由 2.1 知 $u$ 不是 $F_3$ 上的完全不可分元.

命题 2.3. 记号同上, $\Omega$ 是 $K$ 的一个代数闭包, $u\in K$ 在 $k$ 上极小多项式为 $\psi$. $u$ 在 $k$ 上完全不可分 $⟺$ 存在正整数 $m$, $\psi (x)=(x-u{)}^m$$⟺$ 在 $\Omega$ 中, $\psi (x)$ 只有 $u$ 一根.

证明. 后一 "$⟺$" 是显然的. 对于前一 "$⟺$":

$⟹$: 由 2.1 $\psi (x)=x^{p^l}-u^{p^l}=(x-u{)}^{p^l}$.

$⟸$: 设 $m=n{p}^l$, $n,p$ 互素. 只须证 $n=1$. 注意$$k[x]\ni (x-u{)}^m=(x-u{)}^{n{p}^l}=((x-u{)}^{p^l}{)}^n=(x^{p^l}-u^{p^l}{)}^n.$$考察上式中 $(x^{p^l}{)}^{n-1}$ 的次数知 $n{u}^{p^l}\in k$, 又 $n,p$ 互素, 所以 $u^{p^l}\in k$, 即 $x^{p^l}-u^{p^l}\in k[x]$. 因为 $(x-u{)}^m=(x^{p^l}-u^{p^l}{)}^n$ 在 $k$ 上不可约, 所以 $n=1$.

$\square$

命题 2.4. 记号同上, $u$ 在 $k$ 上可分且完全不可分 $⟺$ $u\in k$.

证明. $⟹$: 由 $u$ 在 $k$ 上完全不可分可设 $u$ 在 $k$ 上极小多项式是 $\psi (x)=x^{p^l}-a$, $a\in k$ (2.1). 因为 $u$ 在 $k$ 上可分, 所以 $l=0$, 即 $u$ 在 $k$ 上极小多项式是 $\psi (x)=x-a$, $a\in k$, 从而 $u=a\in k$.

$⟸$: 显然.

$\square$

3相关概念

术语翻译

完全不可分 • 英文 purely inseparable