方差

在概率论中, 随机变量的方差描述了该随机变量取值的发散程度, 是标准差的平方. 方差越小, 就表明该随机变量越倾向于取值在其期望附近; 方差越大, 就表明该随机变量越倾向于在大范围内波动. 大致来说, 随机变量的取值与其期望的平均差距就是标准差, 而其平方则是方差.

在统计学中, 也谈论一组数据的方差. 这是将这组数据视为某个未知的随机变量的取值, 而推测出的该随机变量的方差. 与上面类似, 一组数据的方差越小, 则数据越倾向于取值在其均值附近; 方差越大, 则数据越倾向于偏离其均值.

1定义

在概率论中

定义 1.1 (方差). 在概率空间 $(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 中, 考虑随机变量 $X:\Omega \to \mathbb{R}$. 则 $X$ 的方差定义为$$\mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}((X-\mu {)}^2),$$其中 $\mu =\mathbb{E}(X)$ 是 $X$ 的期望.

在统计学中

在统计学中, 对一组数据 $x_1,\dots ,x_n\in \mathbb{R}$, 有两种不同的方差, 分别称为总体方差与样本方差.

定义 1.2. 对自然数 $n$ 及数据 $x_1,\dots ,x_n\in \mathbb{R}$, 记$$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i$$为其均值. 则这组数据的总体方差定义为$${\sigma }^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2,$$其样本方差定义为$$S^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2.$$

注意到, 一组数据的总体方差也可以视为一个随机变量的方差, 该随机变量以相等的概率 $1/n$ 来取各个值 $x_i$.

样本方差则与总体方差相差一个系数. 这是因为, 在计算样本方差时, 我们假定这组数据是某个未知的随机变量产生的, 即该随机变量的一个样本. 我们需要通过这个样本来推测该随机变量的方差. 而这里使用的均值 $\bar{x}$ 只是该样本的均值, 并非原来随机变量的期望. 这一差异导致需要将结果乘以 $n/(n-1)$, 才能得到准确的推测.

2例子

•	若 $X$ 是离散型随机变量, 取值 $x_i$ 的概率是 $p_i$. 则$$\mathrm{Var}(X)=\sum _i{p}_i(x_i-\mu {)}^2,$$其中 $\mu =\mathbb{E}(X)={\sum }_i{p}_i{x}_i$.
•	若 $X$ 是连续型随机变量, 概率密度函数是 $f$, 则$$\mathrm{Var}(X)={\int }_{\mathbb{R}}(x-\mu {)}^{2}f(x)\mathrm{d}x,$$其中 $\mu =\mathbb{E}(X)={\int }_{\mathbb{R}}xf(x)\mathrm{d}x$,

3性质

基本性质

•	对实数 $c\in \mathbb{R}$ 和随机变量 $X$, 有 ∘ $\mathrm{Var}(cX)=c^2\mathrm{Var}(X)$. ∘ $\mathrm{Var}(X+c)=\mathrm{Var}(X)$.

术语翻译

方差 • 英文 variance • 德文 Varianz (f) • 法文 variance (f)