几何实现 (单纯对象)

关于其它含义, 请参见 “几何实现”.

几何实现 (单纯对象) 是几何实现 (单纯集) 在高阶范畴论中的一种推广方式 (实现–脉伴随中记载了另一种推广方式), 同时它也是自反余等子在高阶范畴论中的对应版本.

1定义

定义 1.1 (几何实现). 令 $\mathcal{C}$ 为 $(\infty ,1)$-范畴, $X_{\bullet }:N({\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}})\to \mathcal{C}$ 为单纯对象. 则称 $X\in \mathcal{C}$ 为 $X_{\bullet }$ 的几何实现是指 $X$ 为 $X_{\bullet }$ 的余极限. 将 $X_{\bullet }$ 的几何实现简记为 $|X_{\bullet }|$.

此外有其变体

变体 1.2 (整体化). 令 $\mathcal{C}$ 为 $(\infty ,1)$-范畴, $X^{\bullet }:N(\mathbb{\Delta })\to \mathcal{C}$ 为余单纯对象, 则称 $X\in \mathcal{C}$ 为 $X^{\bullet }$ 的整体化是指 $X$ 为 $X^{\bullet }$ 的极限. 将 $X^{\bullet }$ 的整体化记为 $\mathrm{Tot}(X)$.

在实际使用中, 给定 $(\infty ,1)$-范畴 $\mathcal{C}$ 中的单纯对象 $X_{\bullet }$, 其几何实现一般不视为 $\mathcal{C}$ 中的对象而视为仰范畴 ${\mathcal{C}}_{X_{\bullet }/}$ 中的对象. 为明确说明这一点, 需要使用增广单纯对象的语言进行描述.

定义 1.3. 令 $\mathcal{C}$ 为 $(\infty ,1)$-范畴且带有对象 $X$, 且 ${\overline{X}}_{\bullet }$ 为 $\mathcal{C}$ 上使得 ${\overline{X}}_{-1}=X$ 且 $X_{\bullet }={\overline{X}}_{\bullet }{\mid }_{N({\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}})}$ 的增广单纯对象. 称 ${\overline{X}}_{\bullet }$ 使得 $X$ 为 $X_{\bullet }$ 的几何实现, 是指其为 $\mathcal{C}$ 中的余极限图表.

变体 1.4. 令 $\mathcal{C}$ 为 $(\infty ,1)$-范畴且带有对象 $X$, 且 ${\overline{X}}^{\bullet }$ 为 $\mathcal{C}$ 上使得 ${\overline{X}}^{-1}=X$ 且 $X^{\bullet }={\overline{X}}^{\bullet }{\mid }_{N(\mathbb{\Delta })}$ 的余增广单纯对象. 称 ${\overline{X}}^{\bullet }$ 使得 $X$ 为 $X^{\bullet }$ 的整体化, 是指其为 $\mathcal{C}$ 中的极限图表.

2性质

命题 2.1. 令 $\mathcal{C}$ 为带有有限余积以及单纯对象的几何实现的 $(\infty ,1)$-范畴, 则 $\mathcal{C}$ 有有限余极限.

证明. [Lurie 2016, Lemma 1.3.3.10].

$\square$

命题 2.2. 令 $\mathcal{C}$ 为 $(\infty ,1)$-范畴, 则 $\mathcal{C}$ 中对象 $X$ 为某个单纯对象 $X_{\bullet }$ 的几何实现当且仅当其为图表$$N({\mathbb{\Delta }}_{单}^{\mathrm{op}})N({\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}})\mathcal{C}.\subseteq X_{\bullet }$$的余极限.

证明. 由单纯对象词条中 $N({\mathbb{\Delta }}_{单})\subseteq N(\mathbb{\Delta })$ 为共始函子可知.

$\square$

命题 2.3. 令 $\mathcal{C}$ 为 $(\infty ,1)$-范畴且令 $X$ 为其上预层. 则存在单纯对象 $Y_{\bullet }:N({\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}})\to \mathsf{PSh}(\mathcal{C})$. 满足以下条件:

1.	$X\simeq |Y_{\bullet }|$.
2.	对于任意 $n\ge 0$, $Y_n\in \mathsf{PSh}(\mathcal{C})$ 同构于 $\mathcal{C}$ 中若干对象在 Yoneda 嵌入 $y:\mathcal{C}\hookrightarrow \mathsf{PSh}(\mathcal{C})$ 后的像的余积.

证明. [Lurie 2009, Lemma 5.5.8.13]

$\square$

与几何实现 (单纯集) 的关联

命题 2.4. 令 $S$ 为单纯集, 则其几何实现 $|S|$ 为以下图表$$N({\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}})\stackrel{S}{\to }N(\mathsf{Set})\subseteq \mathfrak{N}(\mathsf{Top})\simeq \mathsf{Ani}.$$的余极限.

证明. [Lurie 2018, 04QR]

$\square$

警告 2.5. 只有在将 $S$ 视为 $\mathfrak{N}(\mathsf{Top})$ 时可以这么看, 一般情况下不能将几何实现 (单纯对象) 与几何实现 (单纯集) 混为一谈, 比如说将 $S$ 视为 $N(\mathsf{Set})$ 中的单纯对象时, 此时 $|S_{\bullet }|$ 为图表 ${\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}}\to \mathsf{Set}$ 的余极限, 即为连通分支 ${\pi }_0(S)$.

与自反余等子的关联

取单纯对象 $X_{\bullet }:N({\mathbb{\Delta }}^{\mathrm{op}})\to \mathcal{C}$, 不难发现其 $1$-骨架即为图表$$X_1{X}_0{d}_0{d}_1{s}_0$$此时其余极限自然为自反余等子.

3参考文献

•	Jacob Lurie (2018). Kerodon.
•	Jacob Lurie (2009). Higher Topos Theory. Princeton University Press.
•	Jacob Lurie (2016). Higher Algebra.

4相关概念

•	几何实现
•	整体化

术语翻译

整体化 • 英文 totalization