1. 引论

注记. 本节对应视频内容为 Six-Functor Formalisms Lecture 1.1 六函子理论介绍, 无穷范畴与模型范畴. 在本讲中会默认读者知道一些 $(\infty ,1)$-范畴论的常识, 不知道也没有关系, 我们将会在后文中从头开始 $(\infty ,1)$-范畴理论的介绍.

1.1动机

长久以来, 上同调一直是我们研究几何对象上所带有信息的有利工具. 它可以将几何对象对应于一个较简单的代数结构, 从而反映出该几何对象中我们所关心的部分信息.

在对于上同调的研究中, 我们总是会选定一个环 $R$, 对于几何对象 $X$, 我们会从 $X$ 中提取出信息以给出 $R$-模所构成的复形 $\Gamma (X,R)\in D(R)$, 这个复形便被称为上同调. 我们一般会希望它具有一些好的性质, 比如 Künneth 公式或者 Poincaré 对偶, 这个时候我们一般就需要结合具体的空间性质以及繁杂的工作对于其是否满足这些性质进行证明.

那么我们是否可以在定义上同调理论之前就将这些工作完成呢? 即我们是否可以给出一套先于上同调的环境, 使得我们通过这一套环境所定义出的同调以及上同调理论自动的满足我们想要的良好性质?

答案是我们可以将上同调理论替换为一个带有更多结构的理论, 即六函子理论.

1.2什么是六函子理论?

对于我们所关心的几何对象所构成的$(\infty ,1)$-范畴 $\mathcal{C}$(一般而言都假设其上具有有限极限) $\mathcal{C}$ 上的一个六函子理论 $\mathcal{D}$ 是指以下信息:

•	对于每个 $X\in \mathcal{C}$, 都存在 $X$ 上 “层” 所构成的范畴 $\mathcal{D}(X)$ 与之对应.
•	每个 $D(X)$ 都是闭对称幺半范畴, 即其上有张量积函子 $\otimes$, 并且这一函子具有右伴随 $\underline{\mathrm{Hom}}$, 称为内 Hom 函子.
•	对于每个 $\mathcal{C}$ 中的态射 $f:Y\to X$, 它都会给出一对伴随函子$$\mathcal{D}(X)\mathcal{D}(Y)f^{\ast }\perp f_{\ast }$$其中 $f^{\ast }$ 称为拉回函子或上星函子, 其右伴随 $f_{\ast }$ 称为前推函子或下星函子.
•	对于某些比较良好的态射 (称为反常态射) $g:X\to Y$, 它会给出一对伴随函子$$\mathcal{D}(X)\mathcal{D}(Y)f_{!}\perp f^{!}$$其中 $f_{!}$ 称为反常前推函子或下叹函子, 其右伴随 $f^{!}$ 称为反常拉回函子或上叹函子.

令 $\ast$ 为 $\mathcal{C}$ 中的终对象 (由于终对象为空图表的极限, 因此根据假设自动存在) 一般令 $\mathcal{D}(\ast ):=\mathcal{D}(R)$.

从六函子理论中恢复出上同调与上同调

那么选定几何对象 $X$, 如何从六函子理论中恢复出同调以及上同调呢?

只需考虑投影 $p:X\to \ast$, 可知其必然诱导出前推函子 $p_{\ast }:\mathcal{D}(X)\to \mathcal{D}(\ast )=\mathcal{D}(R)$ 以及拉回 $p^{\ast }:D(R)\to D(X)$. 考虑 $\mathcal{D}(R)$ 中的单位对象 $1$, 可将上同调 $\Gamma (X,R)$ 定义为 $p_{\ast }{p}^{\ast }(1)$.

此外, 当 $p$ 为反常态射时, 它可以诱导出对应的反常前推函子以及反常拉回函子,

此时可以额外定义出三种 (上) 同调.

•	紧支上同调: ${\Gamma }_c(X,R):=p_{!}{p}^{\ast }(1)$.
•	BM 同调: ${\Gamma }_{BM}^{-}(X,R):=p_{\ast }{p}^{!}(1)$.
•	同调: ${\Gamma }^{-}(X,R):=p_{!}{p}^{!}(1)$.

相容性条件

不过此时还没有达成我们在 1.1 节中所提出的自动满足 Künneth 公式或 Poincaré 对偶等良好性质. 我们只是能从这个构造中恢复出同调以及上同调. 因此为了能够直接恢复出有我们假设的那样好的同调以及上同调, 需要让六函子理论满足以下相容性条件:

•	$f^{\ast }$ 与 $\otimes$ 交换.
•	(Beck-Chevalley 条件) $f_{!}$ 与 $f^{\ast }$ 通过以下方式交换: 对于图表$$X^{\prime }\underset{X}{\times }Y{Y}^{\prime }{X}^{\prime }X,g^{\prime }{f}^{\prime }fg$$都有自然同构 $f^{\ast }{g}_{!}\stackrel{\sim }{\to }(g^{\prime }{)}_{!}(f^{\prime }{)}^{\ast }$. 该条件也被称为基变换定理或紧合基变换
•	(投影公式) $f_{!}$ 与 $\otimes$ 通过以下方式相容: 给定态射 $f:Y\to X$ 以及 $M\in \mathcal{D}(X)$, $N\in \mathcal{D}(Y)$ 都有自然同构 $M\otimes f_{!}N\simeq f_{!}(f^{\ast }M\otimes N)$.

满足上述相容性条件后, 我们就可以定义出具有较好性质的上同调了.

例 1.2.1 (Künneth 公式). 给定几何对象 $X,Y\in \mathcal{C}$, 都有 $\mathcal{D}(R)$ 中的同构$${\Gamma }_c(X\times Y,R)\simeq {\Gamma }_c(X,R)\otimes {\Gamma }_c(Y,R).$$利用前文所提及的相容性条件, 只需考虑以下图表$$X\times YXY\ast .f_X{f}_{Y}p{p}_X{p}_Y$$这样图表的交换性就给出$$\begin{array}{rl}{\Gamma }_c(X\times Y,R)=p_{!}{p}^{\ast }1& \simeq (p_Y{)}_{!}(f_Y{)}_{!}{p}^{\ast }1\simeq (p_Y{)}_{!}(f_Y{)}_{!}(f_X{)}^{\ast }(p_X{)}^{\ast }1\\ & \simeq (p_Y{)}_{!}(p_Y{)}^{\ast }(p_X{)}_{!}(p_X{)}^{\ast }1\\ & \simeq (p_Y{)}_{!}\left((p_Y{)}^{\ast }(p_X{)}_{!}(p_X{)}^{\ast }1\otimes (p_Y{)}^{\ast }1\right)\\ & \simeq (p_X{)}_{!}(p_X{)}^{\ast }1\otimes (p_Y{)}_{!}(p_Y{)}^{\ast }1={\Gamma }_c(X,R)\otimes {\Gamma }_c(Y,R).\end{array}$$

例 1.2.2 (Poincaré 对偶). 对于 “光滑” 的几何对象 $X\in \mathcal{C}$ (因此在我们定义六函子理论时也需要注意该如何甄别几何对象中的光滑性, 事实上这与可对偶性是密切相关的) 有 $D(R)$ 中的同构$${\Gamma }_{\text{BM}}^{-}(X,R)\simeq \underline{\mathrm{Hom}}({\Gamma }_c(X,R),R)$$同理, 这也可以由前文所提到的相容性公理得知, 对于 $M\in D(R)$, 有$$\begin{array}{rl}\mathrm{Hom}(M,{\Gamma }_{\text{BM}}^{-}(X,R))& =\mathrm{Hom}(M,p_{\ast }{p}^{!}1)=\mathrm{Hom}(p_{!}{p}^{\ast }M,1)\\ & \simeq \mathrm{Hom}(M\otimes p_{!}{p}^{\ast }1,1)\\ & =\mathrm{Hom}(M,\underline{\mathrm{Hom}}(p_{!}{p}^{\ast }1,1))\\ & =\mathrm{Hom}(M,\underline{\mathrm{Hom}}({\Gamma }_c(X,R),R)).\end{array}$$而后根据 Yoneda 引理即可给出结果. 当 $R=\mathbb{k}$ 为域时, $\underline{\mathrm{Hom}}({\Gamma }_c(X,R),R)={\Gamma }_c(X,R{)}^{\vee }$ 为对偶空间.

我们将如何构造六函子理论?

对于几何对象所构成的 $(\infty ,1)$-范畴 $\mathcal{C}$, 我们该如何去搭建六函子理论呢? 这一实现过程前人给出了诸多方式 (事实上大同小异), 比如 [DG22] 从形式地定义出拉回函子 ${\mathcal{D}}^{\ast }:{\mathcal{C}}^{\mathrm{op}}\to \mathsf{CAlg}({\mathsf{Cat}}_{\infty })$ 这一角度切入. 将反常态射 $p$ 的反常前推 $p_{!}$ 定义为其拉回函子 ${\mathcal{D}}^{\ast }(p)=p^{\ast }$ 的左伴随 (其原文中将此称为拉回理论). 不过这并非我们所将介绍的六函子理论.

我们所使用的六函子理论是 Gaitsgory-Rozenblyum 在 [GR10, Part 3] 中最先提出的使用伸展所构成的 $(\infty ,2)$-范畴来构建的六函子理论.

刘一峰和郑唯喆在 [LZ24] 中给出了一套约化到 $(\infty ,1)$-范畴上的六函子理论 (与 [GR10] 具有异曲同工之妙, 不过以 $(\infty ,1)$-范畴为主, 缺点是十分的模型相关, 即需要大量使用单纯集的模型结构), Lucas Mann 在 [Man22, $\S$ A.5] 中对上述理论进行简化, 并且给出了具体的构造方式.

Peter Scholze 在其讲义 [Sch22] 中进一步修改简化并推广 (给出过渡到叠以及在六函子理论中使用对偶以给出形式化的 Poincaré 对偶) 六函子理论.

此外, [Kui24] 与 [Khan] 都试图对于六函子理论进行公理化.

本次讨论班所讨论的六函子理论就是经由 Lucas Mann 在 [HM24] 中进一步改良后的六函子理论.

注记. 在讨论班的进行过程中, 我们会将这几套六函子理论进行对比.

简单来说, 我们所使用的六函子理论搭建于以下环境 (往后称为几何设定):

定义. 几何设定是指二元组 $(\mathcal{C},E)$, 其中 $\mathcal{C}$ 为 $(\infty ,1)$-范畴且 $E\subseteq {\mathcal{C}}_1$ 为 $\mathcal{C}$ 中的一族态射. 满足以下条件:

1.	$E$ 包含 $\mathcal{C}$ 中全体同构.
2.	$E$ 关于 $\mathcal{C}$ 中任一态射的拉回都是封闭的.
3.	对于任意的 $(Y\to X)\in E$, 其诱导的相对对角态射 $(Y\to Y\underset{X}{\times }Y)\in E$.

全体几何设定所构成的范畴记为 $\mathsf{GeomSetup}$.

由于六函子是三对伴随函子, 因此我们只需要构建三个函子 $f^{\ast }$, $f_{!}$ 以及 $\otimes$, 而后利用伴随函子定理就可以给出另外三个函子.

现在我们来构造这三个函子. 在上述定义中, $E$ 中的态射即为反常态射, 它们可以诱导出反常前推函子, 这与拉回函子的方向恰好相反. 因此我们需要将其与一般的态射进行区分.

不难发现, 一个较为合理的方式是仿照 Quillen Q 构造, 不过根据实践情况, 我们需要修改一下其方向, 这样所给出的结构即为伸展

定义 1.2.3. 令 $(\mathcal{C},E)$ 为几何设定, 则其上伸展所构成的 $(\infty ,1)$-范畴 $\mathsf{Span}(\mathcal{C},E)$ 定义如下:

•	$\mathsf{Span}(\mathcal{C},E)$ 中的对象为 $\mathcal{C}$ 中对象.
•	对于任意的 $X,Y\in \mathcal{C}$, $\mathsf{Span}(\mathcal{C},E)$ 中从 $X$ 到 $Y$ 的态射定义为 $\mathcal{C}$ 中的图表$$X^{\prime }XYgf\in E$$
•	$\mathsf{Span}(\mathcal{C},E)$ 中态射的复合通过以下方式定义$$\left[Y^{\prime }YZ{g}^{\prime }{f}^{\prime }\in E\right]\circ \left[X^{\prime }XYgf\in E\right]:=X^{\prime }\underset{X}{\times }{Y}^{\prime }{X}^{\prime }{Y}^{\prime }XYZ\square gf{g}^{\prime }{f}^{\prime }$$由于几何设定中定义可知 $f$ 关于 $g$ 的拉回也在 $E$ 中, 因此复合确实构成伸展.

不难发现, 拉回和反常前推函子可以表现为函子$$\mathcal{D}:\mathsf{Span}(\mathcal{C},E)\to {\mathsf{Cat}}_{\infty }$$使得$$X^{\prime }XYgf\in E\mapsto \mathcal{D}(X^{\prime })\mathcal{D}(X)\mathcal{D}(Y)g^{\ast }{f}_{!}$$接下来还需要构建 $\otimes$, 为解决这一问题, 只需要给 $\mathsf{Span}(\mathcal{C},E)$ 搭配上典范的对称幺半结构.

由于我们假设 $\mathcal{C}$ 上带有有限极限, 因此积结构就是 $\mathcal{C}$ 上典范的对称幺半结构.

不过将上述对称幺半结构推广到 $\mathsf{Span}(\mathcal{C},E)$ 上较为繁琐, 在此我们直接给出结果, 具体的证明留到后文:

命题. $\mathcal{C}$ 以乘积作为张量积的对称幺半结构可以延拓到 $\mathsf{Span}(\mathcal{C},E)$ 上, 给出对称幺半范畴 $\mathsf{Span}(\mathcal{C},E{)}^{\otimes }$.

现在我们来大概解释一下 $\mathsf{Span}(\mathcal{C},E{)}^{\otimes }$ 长什么样

•	其对象为 ${\mathcal{C}}^{\times }$ 中的对象, 即 $n$ 元组 $(X_1,\cdots ,X_n)$.
•	从 $(X_1,\cdots ,X_n)$ 到 $(Y_1,\cdots ,Y_m)$ 的态射为如下伸展$$(Z_1,\cdots ,Z_m)(X_1,\cdots ,X_n)(Y_1,\cdots ,Y_m){\mathcal{C}}^{\times }\ni \text{每个分量都在}E\text{中}$$注意到此时 $(Z_1,\cdots ,Z_m)$ 与 $(Y_1,\cdots ,Y_m)$ 需大小一致, 即均有 $m$ 个分量.

由此即可给出三函子理论

定义 (三函子理论). $(\mathcal{C},E)$ 上的三函子理论是指松幺半函子 $\mathcal{D}:\mathsf{Span}(\mathcal{C},E{)}^{\otimes }\to {\mathsf{Cat}}_{\infty }^{\times }$. 若其穿过 ${\mathsf{Pr}}^L$(可表现 $(\infty ,1)$-范畴沿左伴随函子所张成的 $(\infty ,1)$-范畴) 则称其为可表现三函子理论. 若其穿过 $\mathsf{St}$ (稳定 $(\infty ,1)$-范畴沿正合函子所张成的 $(\infty ,1)$-范畴) 则称其为稳定三函子理论.

在三函子理论的框架下, 三条相容性作为信息存在, 具体观察是将相容性条件转为伸展的复合.

定义 (六函子理论). 给定 $(\mathcal{C},E)$ 上的三函子理论 $\mathcal{D}$, 称其为六函子理论是指它满足以下条件:

1.	对于任意 $X\in \mathcal{C}$, 对称幺半范畴 $\mathcal{D}(X)$ 都是闭的.
2.	对于每个态射 $f:Y\to X$, 函子 $f^{\ast }$ 都具有右伴随$$f_{\ast }:\mathcal{D}(Y)\to \mathcal{D}(X).$$
3.	对于每个反常态射 $\left(Y\stackrel{f}{\to }X\right)\in E$, 函子 $f_{!}$ 都具有右伴随$$f^{!}:\mathcal{D}(X)\to \mathcal{D}(Y).$$

1.3积分变换

注记. 这部分内容在视频中忘了讲.

为在六函子理论中恢复出光滑性的概念, 我们需要在六函子理论上给出积分变换概念, 即 Fourier-Mukai 变换. 在此之前, 我们直接给出一个事实:

事实 1.3.1. $\mathsf{Span}(\mathcal{C})$ 是闭幺半范畴, 其内 $\mathrm{Hom}$ 定义为 $\underline{\mathrm{Hom}}(X,Y)=Y\times X$.

Fourier-Mukai 变换

给定几何设定 $(\mathcal{C},E)$, 令 ${\mathcal{C}}_E$ 为由 $E$ 所生成的宽子范畴 (对象为全体 $\mathcal{C}$ 中的对象, 态射均在 $E$ 中). 则 $(({\mathcal{C}}_E{)}_{/S},all)$ 构成几何设定 ($all$ 是指反常态射选定为 $({\mathcal{C}}_E{)}_{/S}$ 中的全体态射), 且全体态射均为反常态射. 不难发现此时其内对象形如 $X\stackrel{\in E}{\to }S$. 现在考虑 $(\mathcal{C},E)$ 上的三函子理论 $\mathcal{D}$, 可以将其限制到 $(({\mathcal{C}}_E{)}_{/S},all)$ 上给出 ${\mathcal{D}}_S:\mathsf{Span}(({\mathcal{C}}_E{)}_{/S},all{)}^{\otimes }\to \mathsf{Span}(\mathcal{C},E{)}^{\otimes }\stackrel{\mathcal{D}}{\to }{\mathsf{Cat}}_{\infty }^{\times }$. 现在考虑 $\mathsf{Span}(({\mathcal{C}}_E{)}_{/S},all)$ 中的某个对应 $[X\stackrel{f}{\leftarrow }Z\stackrel{g}{\to }Y]$. 根据拉回的泛性质可以得到交换图表$$ZX\underset{S}{\times }YXYSgf(f,g){\pi }_2{\pi }_1\in E\in E$$现在, 将 $\mathcal{D}(X)$ 视为 $X$ 上的函数层 (或直接视为函数) 所构成的范畴, 其对象 $F\in \mathcal{D}(X)$ 可以视为函数

定义. 令 $(\mathcal{C},E)$ 为几何设定, $\mathcal{D}$ 为其上六函子理论, 选定对象 $S\in \mathcal{C}$, 对于任意 $F\in \mathcal{D}(X)$, $\mathbf{S}$ 上以 $\mathbf{Z}$ 为核的 Fourier-Mukai 变换定义为$$({\pi }_1{)}_{!}((f,g{)}_{!}{1}_Z\otimes {\pi }_2^{\ast }F):\mathcal{D}(X)\to \mathcal{D}(Y)$$

注记. Fourier-Mukai 变换在形式因与积分变换在形式上的类似性而得名: 请读者回忆由空间 $X$ 到空间 $Y$ 的积分变换 $T$ 由以下公式给出$$\begin{array}{rl}T:C^{\infty }(X)& \to C^{\infty }(Y)\\ f& \mapsto {\int }_{X}f(x)K(x,y)\end{array}$$其中 $K$ 是 $X\times Y$ 上的函数, 也被称为该积分变换的核. 我们可以将定义中的 $({\pi }_2{)}_{!}$ 表述为 $\int$, 从而给出类似于积分变换的形式.

从而, $\mathcal{D}(X\underset{S}{\times }Y)$ 中的对象即为在 $S$ 上从 $X$ 到 $Y$ 的 Fourier-Mukai 变换的核. 因此可以考虑由核所构成的 $(\infty ,2)$-范畴.

定义 (Fourier-Mukai 核范畴). 令 $\mathcal{D}$ 为几何设定 $(\mathcal{C},E)$ 上的三函子理论, 且 $S\in \mathcal{C}$ 为对象. 则在 $\mathcal{D}$ 中, $S$ 上 Fourier-Mukai 变换的核所构成的 $(\infty ,2)$-范畴 (简称 Fourier-Mukai 核范畴) $${\mathcal{K}}_{\mathcal{D},S}\in {\mathsf{Cat}}_{\infty }^{(2)}$$其具体刻画如下:

•	对象为 $({\mathcal{C}}_E{)}_{/S}$ 中的对象, 即 $X\stackrel{\in E}{\to }S$.
•	给定 $(X\to S)$ 以及 $(Y\to S)$, ${\mathcal{K}}_{\mathcal{D},S}$ 中从 $X$ 到 $Y$ 的态射范畴定义为$${\mathsf{Fun}}_S(X,Y):={\mathsf{Fun}}_{{\mathcal{K}}_{\mathcal{D},S}}(X,Y)=\mathcal{D}(X\underset{S}{\times }Y).$$
•	给定 $M\in {\mathsf{Fun}}_S(X,Y)$ 以及 $N\in {\mathsf{Fun}}_S(Y,Z)$, 考虑图表$N$ 和 $M$ 的复合定义为$$N\circ M=({\pi }_{13}{)}_{!}({\pi }_{12}^{\ast }M\otimes {\pi }_{23}^{\ast }N)\in \mathcal{D}(X\underset{S}{\times }Z),$$

温滑性与紧拘性

考虑 Fourier-Mukai 核范畴的主要作用在于它可以优雅的解决一些较为困难的问题. 首先让我们再引入两个核心概念.

定义. 对于几何设定 $(\mathcal{C},E)$, 考虑其上的三函子理论 $\mathcal{D}$, 令 $f:X\to S$ 为 $E$ 中的态射且 $P\in \mathcal{D}(X)$.

1.	称 $P$ 为 $\mathbf{f}$-温滑的是指其为 ${\mathcal{K}}_{\mathcal{D},S}$ 中的态射 $X\to S$ 时为左伴随, 将其右伴随态射记为 ${\mathsf{SD}}_f(P)\in \mathcal{D}(X)$.
2.	称 $P$ 为 $\mathbf{f}$-紧拘的是指其作为 ${\mathcal{K}}_{\mathcal{D},S}$ 中的态射 $X\to S$ 时为右伴随, 将其左伴随态射记为 ${\mathsf{PD}}_f(P)\in \mathcal{D}(X)$.

注 1.3.2. “温滑” 是 Scholze 想描述光滑这一性质时 (因为已经被抢注了) 所给出的名词. “紧拘” 是 David Hansen 想描述紧合这一性质时 (因为也被抢注了) 所给出的名词. 如果读者有更好的名字, 请告诉我.

定义 1.3.3. 对于几何设定 $(\mathcal{C},E)$, 考虑其上的三函子理论 $\mathcal{D}$, 令 $f:Y\to X$ 为 $E$ 中的态射.

1.	称 $f$ 是 $\mathcal{D}$-温滑的是指其在函子 $({\mathcal{C}}_E{)}_{/X}\to {\mathcal{K}}_{\mathcal{D},X}$ 下的像为左伴随态射, 换句话说 $1_Y\in \mathcal{D}(Y)$ 是 $\mathbf{f}$-温滑的. 此时称 ${\omega }_f:={\mathsf{SD}}_f(1)\in \mathsf{D}(Y)$ 是关于 $f$ 的对偶复形. 若 ${\omega }_f$ 是可逆的, 则称 $f$ 是 $\mathcal{D}$-光滑的.
2.	称 $f$ 是 $\mathcal{D}$-紧拘的实值其在函子 $({\mathcal{C}}_E{)}_{/X}\to {\mathcal{K}}_{\mathcal{D},X}$ 下的像为右伴随态射, 换句话说 $1_Y\in \mathcal{D}(Y)$ 是 $\mathbf{f}$-紧拘的. 此时称 ${\delta }_f:={\mathsf{PD}}_f(1)\in \mathsf{D}(Y)$ 是关于 $f$ 的余对偶复形.

注记. $\mathcal{D}$-光滑在 [Sch22] 以及一些过去的文献中称为 ($\mathcal{D}$)-上同调光滑, 它稍弱于具体设定中的光滑性 (比如平展情况, 整泛单泛满态射就是上同调光滑的), 不过若 $X\to \ast$ 是 $\mathcal{D}$-光滑的, 那么它也就满足 Poincaré 对偶.

使用 $(\infty ,2)$-范畴中的伴随给出的态射固然抽象, 不过在特定条件下也具有较为具体的刻画 (此时要求六个函子均存在) 比如说 $P\in \mathcal{D}(X)$ 沿 $f:X\to S$ 是温滑的当且仅当自然态射$${\pi }_1^{\ast }\underline{\mathrm{Hom}}(P,f^{!}1)\otimes {\pi }_2^{\ast }P\stackrel{\sim }{\to }\underline{\mathrm{Hom}}({\pi }_2^{\ast }P,{\pi }_2^{!}P)$$在 $\mathcal{D}(X\underset{S}{\times }X)$ 中为同构, 其中 ${\pi }_i:X\underset{S}{\times }x\to X$ 为投影态射. 此时可以得到 ${\mathsf{SD}}_f(P)=\underline{\mathrm{Hom}}(P,f^{!}1)$, 对偶复形即为 ${\omega }_f=f^{!}1$.

此外, 温滑性和紧拘性还有诸多良好性质, 以下仅列举部分:

1.	温滑性在对偶下是稳定的, 并且对于全体 $f$-温滑对象 $P$, 都有 ${\mathsf{SD}}_f({\mathsf{SD}}_f(P))=P$.
2.	若 $f$ 是 $\mathcal{D}$-温滑的, 则 $f^{!}$ 可表为 $f^{\ast }\otimes {\omega }_f$, 且 $f^{\ast }$ 可表为 $\underline{\mathrm{Hom}}({\omega }_f,f^{!})$. 若 $f$ 是 $\mathcal{D}$-紧拘的, 则 $f_{\ast }$ 可表为 $f_{!}({\delta }_f\otimes -)$, 且 $f_{!}$ 可表为 $f_{\ast }\underline{\mathrm{Hom}}({\delta }_f,-)$.
3.	若 $\mathcal{D}$ 是稳定三函子理论, 则 $\otimes ,f^{\ast },f_{!}$ 均正合, 此时温滑对象以及紧拘对象均在 (余) 纤维以及收缩下稳定.

由上述性质不难看出看出温滑对象与紧拘对象可以很好的描述 $!$-函子以及 $\ast$-函子.

此外, $\mathcal{D}$-温滑态射以及 $\mathcal{D}$-紧拘态射可以给出 $\mathcal{D}$-平展态射 ($f^{!}=f^{\ast }$) 以及 $\mathcal{D}$-紧合态射 ($f_{!}=f_{\ast }$).

事实上, Fourier-Mukai 核范畴函子 ${\mathcal{K}}_{D,-}:X\mapsto {\mathcal{K}}_{D,X}$ 会构成一个三函子理论.

定理. 令 $\mathcal{D}$ 为 $(\mathcal{C},E)$ 上的三函子理论, 则$${\mathcal{K}}_{\mathcal{D},-}:\mathsf{Span}(\mathcal{C},E)\to {\mathsf{Cat}}_{\infty }^{(2)}$$是松对称幺半 $(\infty ,2)$-函子.

1.4为什么需要 $\infty$-范畴?

在一般的情况下, $f_{!}$ 的构造较好说明, 而 $f^{!}$ 的构造却需要复杂的讨论. 而究其原因, 是 $D(X)$ 并非可表现范畴 (因为在其构造过程中, 我们通过商去同伦信息这一手段将拟同构逆转, 因此会导致导出范畴不完备且余完备). 而在高阶范畴论中, 由于我们保留了其同伦信息, 因此可以说明 $\mathcal{D}(X)$ 为可表现 $(\infty ,1)$-范畴. 因此 $f^{!}$ 的构造以及存在性转化为伴随函子定理.

定理 (伴随函子定理). 令 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 为 $(\infty ,1)$-范畴间的函子且 $\mathcal{C}$ 是可表现的. 则:

1.	$F$ 是左伴随当且仅当它保全体小余极限 (当然 $\mathcal{D}$ 中存在这些余极限)
2.	若 $\mathcal{D}$ 是可表现的, 则 $F$ 为右伴随当且仅当它可达且保持小极限.

注记. 上述定理并非对偶, 这是因为可表现 $(\infty ,1)$-范畴在定义上就并非是对偶的, 可表现 $(\infty ,1)$-范畴可以视为有任意余极限, 且被一族小对象沿余极限生成的 $(\infty ,1)$-范畴. 因此在处理右伴随时自然要求其可达.

以平展上同调为例, 在平展上同调中, 对于 $f^{!}$ 的构造可参见 [Fu15, $\S$ 8.4], 相当繁琐. 而在 $(\infty ,1)$-范畴下, 平展层上 $f^{!}$ 的存在性转为下例

例 1.4.1 (平展层). 设 $f:X\to Y$ 是拟紧拟分离概形的有限表现态射, $k$ 是系数环. 则用 Nagata 紧化以及开浸入的 $j_{!}$ 可以定义 $f_{!}$. 由伴随函子定理它有右伴随, 这就是 $f^{!}$.

1.5内容安排

为响应香蕉空间号召, 我们将给出一套从 $(\infty ,1)$-范畴的构造开始的内容自洽的讲义. 因此内容的大致安排为:

1.	$(\infty ,1)$-范畴论: 从 $(\infty ,1)$-范畴的动机开始讲述 $(\infty ,1)$-范畴理论. 比起讲义: 同伦代数与同调代数而言, 这一篇讲义讲的内容不会涉及太多模型范畴, 也会略微增加一些证明细节以及内容, 不过部分单纯集细节我将以画图或者其它方式展现, 而非严格证明. $(\infty ,1)$-范畴论部分计划讲述: ∘ 模型范畴基础内容, 基础的单纯集概念, Joyal 提升性定理. ∘ Grothendieck-Lurie 构造以及部分拉回/推出纤维化性质, Yoneda 引理. ∘ 伴随 (以及 Quillen 伴随), 极限 (以及同伦极限), Quillen 定理 A($(\infty ,1)$-共尾函子), Kan 延拓, 余端, 滤过余极限与筛余极限. ∘ $(\infty ,1)$-层及其性质, 可表现 $(\infty ,1)$-范畴. ∘ Segal 生象与完备 Segal 生象.
2.	高阶代数: 将会简要介绍部分高阶代数知识 ∘ ${\mathbb{E}}_1$-幺半群 (群). ∘ ${\mathbb{E}}_n$-幺半群 (群) 以及 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-幺半群 (群). ∘ 谱. ∘ $(\infty ,1)$-算畴. ∘ 代数模式以及 Day 卷积. ∘ Boardman–Vogt 张量积以及 Lurie 张量积. ∘ 自由代数. ∘ 稳定 $(\infty ,1)$-范畴, 导出 $(\infty ,1)$-范畴. ∘ ${\mathbb{E}}_{\infty }$-环谱, 模. ∘ 生象化 ∘ 单子与 Beck 单子性定理 (以及导出 $(\infty ,1)$-范畴的下降性质). ∘ $(\infty ,2)$-范畴的基础概念 (几种模型以及基础构造)
3.	六函子理论: 对于本节内容的具体构造.
4.	应用: 讨论六函子理论的部分具体应用.

术语翻译

六函子理论 • 英文 six-functor formalism

反常态射 • 英文 exceptional morphism

拉回理论 • 英文 pullback formalisms

$f$-温滑 • 英文 $f$-suave

$f$-紧拘 • 英文 $f$-prim