退化分布

退化分布是一类概率分布. 在一维情形, 它的取值几乎一定是常数. 这时候它基本不再具有随机性, 所以被称为是 “退化” 的. 在高维情形, 这表示随机向量的取值以概率 $1$ 分布于较低维数的子空间中.

1定义

定义 1.1 (退化分布, 一维情形). 设 $X$ 是概率空间 $(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 中的实值随机变量. 如果存在实数 $c$, 使得$$\mathbb{P}\{\omega \in \Omega \mid X(\omega )=c\}=1,$$则称 $X$ 是常值随机变量, 服从退化分布. 取值几乎为 $c$ 的常值随机变量一般仍记为 $c$.

定义 1.2 (退化分布, 高维情形). 设 $\mathbf{X}:\Omega \to {\mathbb{R}}^n$ 是随机向量. 如果存在包含于某个 ${\mathbb{R}}^n$ 的 $n-1$ 维子空间的 Borel 可测集 $B$ 使得 $\mathbb{P}(\mathbf{X}\in B)=1$, 则称 $\mathbf{X}$ 服从退化分布.

关于高维退化分布, 一个简单的例子是 $(X,aX+b)$, 这个随机向量的值域被限制于一条直线上, 所以服从退化分布.

2性质

•	设 $c$ 表示取值几乎为 $c$ 的常值随机变量. ∘ 它的累积分布函数是 $F(x)=1_{\{x\ge c\}}$, 其中 $1_A$ 表示指示函数; 可以用 Dirac $\delta$ 函数表示它的概率密度函数: $p(x)=\delta (x-c)$. ∘ 期望是 $\mathbb{E}(c)=c$; 方差是 $\mathrm{Var}(c)=0$. ∘ 特征函数是 ${\varphi }_c(t)={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}ct}$.

•	设随机向量 $\mathbf{X}$ 服从退化分布, 则 $X$ 的协方差矩阵是奇异的.

3相关概念

术语翻译

退化分布 • 英文 degenerate distribution • 德文 Dirac-Verteilung • 法文 distribution dégénérée