换位子群

群 $G$ 的换位子群 (或导群), 常记为 $[G,G]$, 是由 $G$ 中所有换位子, 即形如$$[a,b]=a^{-1}{b}^{-1}ab(a,b\in G)$$的元素, 所生成的子群.

注意到 $a^{-1}{b}^{-1}ab=(ba{)}^{-1}ab$, 该元素刻画了 $a,b$ 不交换的程度. 若 $ab=ba$, 则该元素就是单位元. 因此, 大致来说, 群的换位子群也刻画了该群不交换的程度. 例如, Abel 群的换位子群是平凡群.

换位子群一定是正规子群. 商群 $G/[G,G]$ 是 Abel 群, 称为 $G$ 的交换化, 因为它是某种意义上与 $G$ 最接近的 Abel 群.

1定义

定义 1.1 (换位子群). 设 $G$ 是群. 元素 $a,b\in G$ 的换位子是指元素$$[a,b]=a^{-1}{b}^{-1}ab.$$$G$ 的换位子群 $[G,G]$ 是由 $G$ 中所有换位子生成的子群.

注意, 所有换位子一般并不构成子群, 而这里考虑的是它们生成的子群. 故一般而言, 换位子群的元素能写成多个换位子之积, 但不一定能写成单个换位子.

2例子

•	若 $G$ 为 Abel 群, 则 $[G,G]$ 是平凡群.

•	置换群 ${\mathfrak{S}}_n$ 的换位子群是交错群 ${\mathfrak{A}}_n$.

•	对域 $k$, 一般线性群 $\mathrm{GL}(n;k)$ 的换位子群是特殊线性群 $\mathrm{SL}(n;k)$, 除了 $\mathrm{GL}(2;{\mathbb{F}}_2)$ 以外.

3性质

•	商群 $G/[G,G]$ 是 Abel 群. $[G,G]$ 是最小的满足这一性质的正规子群.

4相关概念

术语翻译

换位子群 • 英文 commutator subgroup • 德文 Kommutatorgruppe (f) • 法文 groupe dérivé (m)