双范畴

注意区分本文与 $2$-范畴.

双范畴是范畴的一种推广, 是 $n$ 重范畴当 $n=2$ 时的特例, 也可视为带有额外结构的 $2$-范畴. 大致来说, 双范畴由以下信息组成:

•

一族对象.

•	在对象 $x,y$ 之间, 可以有横向态射 $x\stackrel{f}{⟶}y$, 也可以有纵向态射 $\begin{array}{c}x\\ \text{g}\downarrow \\ y\end{array}$. 它们都视为 $1$-态射.

•	在横向和纵向态射之间, 可以有 $2$-态射$$xyzw\text{ ,}fg{g}^{\prime }{f}^{\prime }\stackrel{\alpha }{⟹}$$其中 $f,f^{\prime }$ 是横向态射, $g,g^{\prime }$ 是纵向态射.

1定义

定义 1.1 (双范畴). 令 $\mathsf{Cat}$ 为范畴的范畴, 并视之为 $1$-范畴. 则双范畴就是 $\mathsf{Cat}$ 中的内范畴.

由定义, 双范畴 $\mathcal{C}$ 由以下信息组成:

•	范畴 ${\mathcal{C}}_0,{\mathcal{C}}_1\in \mathsf{Cat}$, 分别代表内范畴中的对象、态射. 这里, ∘ ${\mathcal{C}}_0$ 的对象称为 $\mathcal{C}$ 的对象. ∘ ${\mathcal{C}}_0$ 的态射称为 $\mathcal{C}$ 的纵向态射. ∘ ${\mathcal{C}}_1$ 的对象称为 $\mathcal{C}$ 的横向态射. ∘ ${\mathcal{C}}_1$ 的态射称为 $\mathcal{C}$ 的 $2$-态射.

•	函子 $s,t:{\mathcal{C}}_1\to {\mathcal{C}}_0$, 分别指定了横向态射从哪个对象出发、到达哪个对象, 也分别指定了 $2$-态射从哪个纵向态射出发、到达哪个纵向态射.

•	函子 $e:{\mathcal{C}}_0\to {\mathcal{C}}_1$, 指定了对象的横向恒同态射, 以及纵向态射的恒同 $2$-态射. 注意到, 对象的纵向恒同态射就是 ${\mathcal{C}}_0$ 中的恒同态射; 横向态射的恒同 $2$-态射就是 ${\mathcal{C}}_1$ 中的恒同态射.

•	函子 $m:{\mathcal{C}}_1{\times }_{{\mathcal{C}}_0}{\mathcal{C}}_1\to {\mathcal{C}}_1$, 指定横向态射如何复合, 以及 $2$-态射如何在横向复合. 注意到, ${\mathcal{C}}_0$ 中的态射复合指定了纵向态射如何复合; ${\mathcal{C}}_1$ 中的态射复合指定了 $2$-态射如何在纵向复合.

2相关概念

术语翻译

双范畴 • 英文 double category