Skorokhod 表示定理

约定. 在本文中,

• 分布函数定义为 $F_X(x)=P(X\le x)$. 特别地, 它是右连续的.

Skorokhod 表示定理是概率论中的一个定理. 它指出, 对任意一个弱收敛的分布函数序列, 存在一列几乎必然收敛的随机变量, 其极限的分布函数亦是这个分布函数列弱收敛下的极限.

1叙述与证明

定理 1.1 (Skorokhod 表示定理). 若分布函数列 $(F_n)$ 弱收敛至分布函数 $F$, 则存在概率空间 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 及其上随机变量 $(Y_n),Y$, 使得 $Y_n$ ($Y$) 分布函数是 $F_n$ ($F$), 且 $Y_n$ 几乎必然收敛到 $Y$.

在给出证明前, 我们给出两个引理.

引理 1.2. $F$ 为某个分布函数, 则概率空间 $((0,1),{\mathcal{B}}_{(0,1)},m)$ 上随机变量 $Y(x)=\sup \{y:F(y)<x\}$ 分布函数恰为 $F$. 这里 $(0,1)$ 是单位开区间, ${\mathcal{B}}_{(0,1)}$ 是其上 Borel 集, $m$ 是勒贝格测度.

证明. 我们断言 $Y(x)\le y⟺x\le F(y)$. 其实, $(⟸)$ 一端明显, 对于 $(⟹)$ 一端, 注意若 $x>F(y)$, 则根据 $F$ 右连续知 $x>F(y+ϵ)$ 对某一 $ϵ>0$ 成立, 于是 $Y(x)\ge y+ϵ>y$.

从而, $m(Y\le y)=m((0,F(y)])=F(y)$.

$\square$

引理 1.3. $F$ 为某个分布函数. 定义 $a_x=\sup \{y:F(y)>x\}$, $b_x=\inf \{y:F(y)<x\}$, 则 $a_x\le b_x$, 且对不同的 $x$, 开区间 $(a_x,b_x)$ 不交 (注意有可能 $(a_x,b_x)$ 本身就是空集).

证明. 任取 $y_1,y_2$ 使得 $F(y_1)<x<F(y_2)$. 则 $y_1<y_2$. 先对所有 $y_1$ 取上确界可得 $a_x\le y_2$, 再对 $y_2$ 取下确界知 $a_x\le b_x$.

为了证明对不同的 $x$, $(a_x,b_x)$ 不交, 我们只须证明对 $y\in (a_x,b_x)$, 则 $F(y)=x$. 其实, 由 $y>a_x$ 知 $F(y)\le x$, 而由 $y<b_x$ 知 $F(y)\ge x$. 所以 $F(y)=x$.

$\square$

我们回到 Skorokhod 表示定理的证明.

Skorokhod 表示定理的证明. 如同引理 1.2 那样, 取 $(\Omega ,\mathcal{F},P)=((0,1),{\mathcal{B}}_{(0,1)},m)$, $Y_n(x)=\sup \{y:F_n(y)<x\},Y(x)=\sup \{y:F(y)<x\}$. 我们断言 $Y_n\stackrel{\text{a.s.}}{\to }Y$.

设 $a_x=\sup \{y:F(y)>x\}$, $b_x=\inf \{y:F(y)<x\}$, ${\Omega }_0=\{x:(a_x,b_x)\ne \varnothing \}$. ${\Omega }_0$ 是至多可数的: 对每个 $x\in {\Omega }_0$, 我们可以取一个有理数 $q_x\in (a_x,b_x)$. 因为 $(a_x,b_x)$ 两两不交, 所以这给出了 ${\Omega }_0$ 到 $\mathbb{Q}$ 的单射. 这证明了 ${\Omega }_0$ 是至多可数的这一断言.

我们断言, 对任意 $x\in [0,1]-{\Omega }_0$, $Y_n(x)$ 收敛到 $Y(x)$. 一方面, 取 $y<Y(x)$ 使得 $F$ 在 $y$ 处连续. 因为$$y<Y(x)\stackrel{\text{def}}{=}\sup \{y_0:F(y_0)<x\},$$所以存在 $y_0>y$ 使得 $F(y_0)<x$. 从而 $F(y)<F(y_0)<x$. 因为 ${\lim }_{n\to +\infty }{F}_n(y)=F(y)$, 所以 $F_n(y)<x$ 当 $n$ 充分大时成立. 即 $Y_n(x)\stackrel{\text{def}}{=}\sup \{y_0:F_n(y_0)<x\}\ge y$ 当 $n$ 充分大时成立. 所以 ${\mathrm{liminf}}_{n\to +\infty }{Y}_n(x)\ge y$. $F$ 的不连续点至多可数, $y$ 可以任意靠近 $Y(x)$. 所以 ${\mathrm{liminf}}_{n\to +\infty }{Y}_n(x)\ge Y(x)$. (实际上, 在证明这一端的不等式时, 我们并未用到 $x\notin {\Omega }_0$).

另一方面, 取 $y>Y(x)$ 使 $F$ 在 $y$ 处连续. 因为 $y>Y(x)=a_x\stackrel{x\notin {\Omega }_0}{=}{b}_x=\inf \{y_0:F(y_0)<x\}$, 所以 $F(y)>x$, $F_n(y)>x$ 当 $n$ 充分大时成立. 所以 $y\ge Y_n(x)$. 如同上一段的论证一样, 我们得到 ${\mathrm{limsup}}_{n\to +\infty }{Y}_n(x)\le Y(x)$.

因此, 对任意 $x\in [0,1]-{\Omega }_0$, $Y_n(x)$ 收敛到 $Y(x)$. 定理获证.

$\square$

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