余代数

余代数是一种代数结构, 它是结合代数的一种对偶. 大致来说, 余代数的公理是通过将结合代数的公理进行范畴论意义的对偶得到的. 例如说, 域上的有限维结合代数的对偶向量空间总是余代数; 反之, 余代数的对偶空间总是结合代数.

1定义

定义 1.1. 域 $k$ 上的余代数是三元组 $(C,\Delta ,ϵ)$, 其中

•	$C$ 是 $k$-向量空间,
•	$\Delta$ 是 $C\to C\otimes C$ 的线性映射, 称为余乘,
•	$ϵ$ 是 $C\to k$ 的线性映射, 称为余单位. 它们满足如下两条公理:
•	余结合律, 即$$({\mathrm{id}}_C\otimes \Delta )\circ \Delta =(\Delta \otimes {\mathrm{id}}_C)\circ \Delta ,$$
•	余单位律, 即$$({\mathrm{id}}_C\otimes ϵ)\circ \Delta =(ϵ\otimes {\mathrm{id}}_C)\circ \Delta ={\mathrm{id}}_C.$$以交换图表示, 即为如下图表交换$$\begin{gathered} CC\otimes CC\otimes CC\otimes C\otimes C\Delta \Delta \mathrm{id}\otimes \Delta \Delta \otimes \mathrm{id} \\ CC\otimes CC\otimes CC\Delta \Delta \mathrm{id}\mathrm{id}\otimes ϵϵ\otimes \mathrm{id} \end{gathered}$$

注 1.2. 这些公理恰好是域 $k$ 上结合代数的公理的对偶; 例如, 结合代数 $A$ 上的乘法就是线性映射 $A\otimes A\to A$, 其结合律和上述余结合律互为对偶.

定义 1.3. 若 $C,D$ 是 $k$ 上的余代数, $C$ 到 $D$ 的同态是一个 $k$ 线性映射 $f:C\to D$, 满足

•	${ϵ}_D\circ f={ϵ}_C$, 且
•	${\Delta }_D\circ f=(f\otimes f)\circ {\Delta }_C$.

2例子

...

3Sweedler 记号

由于 $\Delta$ 的值域 $C\otimes C$ 书写时不便, 实践上常用一种简化写法的记号. 对每个 $c\in C$, 有 $\Delta (c)\in C\otimes C$, 因此存在有限多对 $(c_{(1)}^i,c_{(2)}^i)$, 使得$$\Delta (c)=\sum _i{c}_{(1)}^i\otimes c_{(2)}^i.$$在 Sweedler 记号中, 上述和式记作$$\Delta (c)=\sum _{(c)}{c}_{(1)}\otimes c_{(2)}.$$当不会导致歧义时, 也可以省略求和指标 $(c)$ 不写 (类似于 Einstein 求和约定) .

以 Sweedler 记号, 余结合律写作$$\sum _{(c)}{c}_{(1)}\otimes (\sum _{(c_{(}2))}(c_{(2)}{)}_{(1)}\otimes (c_{(2)}{)}_{(2)})=\sum _{(c)}(\sum _{(c_{(}1))}(c_{(1)}{)}_{(1)}\otimes (c_{(1)}{)}_{(2)})\otimes c_{(2)}.$$此时也将此 $C\otimes C\otimes C$ 的元素记作$$\sum _{(c)}{c}_{(1)}\otimes c_{(2)}\otimes c_{(3)}.$$

而余单位律写作$$\sum _{(c)}ϵ(c_{(1)})c_{(2)}=\sum _{(c)}ϵ(c_{(2)})c_{(1)}=c.$$

4对偶

命题 4.1. 若 $C$ 是 $k$ 上的余代数, 则 $C^{\ast }$ ($C$ 作为 $k$ 向量空间的对偶) 自然地是 $k$ 上的结合代数, 其乘法定义为$$(f\cdot g)(x)=(f\otimes g)(\Delta (x))=\sum f(x_{(1)})g(x_{(2)}).$$$C^{\ast }$ 的单位元即为 $ϵ:C\to k$.

若 $A$ 是 $k$ 上的有限维结合代数, 则 $A^{\ast }$ 自然地是 $k$ 上的余代数, 其余乘定义为$$\begin{array}{rl}\Delta :A^{\ast }& \to (A\otimes A{)}^{\ast }\cong A^{\ast }\otimes A^{\ast }\\ \Delta (f)& =(x\otimes y\mapsto f(x\cdot y)).\end{array}$$余单位定义为 $ϵ:A^{\ast }\to k,ϵ(f)=f(1)$.

注 4.2. 若 $A$ 是一般的结合代数, 则 $A^{\ast }$ 没有自然的余代数结构. 这是因为仅在有限维时有同构 $(A\otimes A{)}^{\ast }\cong A^{\ast }\otimes A^{\ast }$.

术语翻译

余代数 • 英文 Coalgebra • 德文 Koalgebra (f) • 法文 Coalgèbre (f)