无幺环

无幺环是一种代数结构, 类似于环, 但不一定带有幺元.

无幺环通常不算作环. 这是白马非马的一个例子.

1定义

定义 1.1 (无幺环). 无幺环是一个三元组 $(A,+,\cdot )$, 其中

•	$(A,+)$ 构成 Abel 群. 其单位元通常记为 $0$, 称为 $A$ 的零元. 元素 $a\in A$ 的逆元通常记为 $-a$, 称为 $a$ 的相反元.
•	$(A,\cdot )$ 构成半群.
•	乘法对加法满足分配律: 对任意 $a,b,c\in A$, 有$$\begin{array}{rl}(a+b)c& =ac+bc,\\ c(a+b)& =ca+cb.\end{array}$$

在无歧义时, 通常将此三元组记作 $A$.

定义 1.2 (无幺环同态). 两个无幺环 $A,B$ 之间的同态是一个映射 $f:A\to B$, 它与加法、乘法均相容: 对任意 $a,b\in A$, 有$$\begin{array}{rl}f(a+b)& =f(a)+f(b),\\ f(ab)& =f(a)f(b).\end{array}$$

定义 1.3 (无幺环范畴). 所有无幺环和它们之间的同态构成的范畴称为无幺环范畴, 记作 $\mathsf{Rng}$.

2例子

•	任何环, 以及其中的任何理想, 都是无幺环. 例如, 对任何 $n\in \mathbb{Z}$, $n\mathbb{Z}$ 都是无幺环.
•	如果 $A$ 是无幺环, $n$ 是自然数, 那么 $A$ 上的所有 $n\times n$ 矩阵, 配备矩阵乘法, 构成一个无幺环 ${\mathrm{M}}_n(A)$.

3性质

(...)

术语翻译

无幺环 • 英文 rng; nonunital ring • 德文 Pseudo-Ring (m) • 法文 pseudo-anneau (m) • 拉丁文 pseudoanellus (m) • 古希腊文 ψευδοδακτύλιος (m)