半格

在序论中, 半格是格的一种弱化. 并半格是指任意两个元素都具有上确界 (即并) 的偏序集, 而交半格是指任意两个元素都具有下确界 (即交) 的偏序集. 若两个条件同时满足, 则相应的偏序集是格.

1定义

半格有以下两种等价的定义方式. 第一种方式将半格定义为满足额外条件的偏序集, 而第二种方式将其定义为一种代数结构.

作为偏序集

定义 1.1. 设 $(P,\le )$ 为偏序集.

•	若 $P$ 中任两个元素都有并, 则称 $(P,\le )$ 为并半格.

•	若 $P$ 中任两个元素都有交, 则称 $(P,\le )$ 为交半格.

作为代数结构

定义 1.2. 并半格是二元组 $(P,\vee )$, 其中 $P$ 是集合, $\vee$ 是 $P$ 上的二元运算, 称为并, 满足以下条件:

•	(结合律) 对任意 $x,y,z\in P$, 有$$x\vee (y\vee z)=(x\vee y)\vee z.$$

•	(交换律) 对任意 $x,y\in P$, 有$$x\vee y=y\vee x.$$

•	(幂等律) 对任意 $x\in P$, 有$$x\vee x=x.$$

交半格与并半格的定义完全相同, 只是通常将记号 $\vee$ 换成 $\wedge$, 称为交. 因此, 上述代数结构也直接称为半格.

2相关概念

术语翻译

半格 • 英文 semilattice

并半格 • 英文 join-semilattice

交半格 • 英文 meet-semilattice