卝

卝 (guàn), 或作丱, 是一种代数结构, 刻画群元素互相之间的共轭作用, 在纽结论中亦有应用.

1定义

定义 1.1. 卝是集合 $Q$ 附带两个二元运算 $◃$、$▹$, 满足对任意 $a,b,c\in Q$:

•	$a◃(b◃c)=(a◃b)◃(a◃c)$;
•	$a◃a=a$;
•	$a◃(b▹a)=(a◃b)▹a=b$.

注 1.2. 记号承定义 1.1. 注意 $▹$ 和 $◃$ 互相决定, 因为映射 $a◃-$ 与 $-▹a$ 互逆. 由此不难发现

•	$(a▹b)▹c=(a▹c)▹(b▹c)$;
•	$a▹a=a$.

注 1.3. 在定义 1.1 中, 如对任意 $a,b\in Q$ 都有 $a◃b=b▹a$, 则 $Q$ 关于 $◃$ 构成圭.

2例子

例 2.1. 如 $G$ 是群, 子集 $Q\subseteq G$ 关于共轭封闭, 则它关于二元运算 $a◃b=ab{a}^{-1}$、$b▹a=a^{-1}ba$ 构成卝. 当 $G$ 是纽结补空间的基本群, $Q$ 是正向环绕纽结的小圈对应的共轭类时, 这给出纽结的卝.

例 2.2. 上例中纽结的卝也可描述如下: 首先把纽结定向, 并画在平面上. 则纽结的卝就是纽结图示中所有线段的集合, 运算如下图.

译名 “卝” 除了谐音之外便是考虑到这个直观: 其字形可视为横向细线从纵向粗条带底下通过, 是纽结平面图示的一个局部.

术语翻译

卝 • 英文 quandle • 日文 カンドル