曾定理

曾定理是曾炯于 1933 年证明的定理, 说的是 ${\text{C}}_1$ 域的 Brauer 群平凡. 其在发展平展上同调时有重要应用.

1定理与证明

定理 1.1. 设 $F$ 是 ${\text{C}}_1$ 域, $D$ 是 $F$ 上的有限维中心除环, 则 $D=F$. 换言之, ${\text{C}}_1$ 域的 Brauer 群平凡.

证明. 取 $F$ 的可分闭包 $K$. 由中心单代数的理论, 基变换 $D_K=D{\otimes }_{F}K$ 是 $K$ 上矩阵代数. 设其为 $M_d(K)$, 则 ${\dim }_{F}D={\dim }_K{D}_K=d^2$, 要证 $d=1$.

考虑行列式映射 $\det :M_d(K)\to K$. 由 Noether–Skolem 定理, $M_d(K)$ 的自同构都是内自同构, 保持行列式; 故这定义了与同构 $D_K\cong M_d(K)$ 的选取无关的映射 $N_K:D_K\to K$. 由于 $D_K$ 是从 $F$ 上基变换来, 它带有 Galois 群 $G(K/F)$ 的作用. 仍因 $M_d(K)$ 的自同构都保持行列式, 有 $N_K:D_K\to K$ 保持 Galois 作用. 取两边的 Galois 不动元, 它定义了映射 $N:D\to F$, 称为既约范数.

由于行列式是乘性的 $d$ 次齐次多项式, 既约范数也是. 由于 $D$ 是除环, 乘性就保证既约范数把非零元映射到非零元. 如果 $d>1$, $d^2>d$, 则由 ${\text{C}}_1$, $d^2$ 维线性空间的 $d$ 次齐次多项式有非平凡零点, 矛盾! 故只有 $d=1$, $D=F$.

$\square$

注 1.2. 曾炯证明的其实是代数闭域上超越次数 $1$ 的扩张上没有非平凡中心除环. 关于证明的另一部分, 即这样的域为什么 ${\text{C}}_1$, 参见主条目 ${\text{C}}_k$ 域.

2应用

它最重要的应用是在平展上同调理论中. 由于 Brauer 群就是域上乘法群的二阶平展上同调, 曾定理说明代数闭域上代数曲线一般点平展上同调消失. 正因有它, 人们才能得知代数曲线没有高于 $2$ 阶的平展上同调, 进而得到一般代数簇的相应同调维数有限.

3相关概念

•	${\text{C}}_k$ 域
•	Brauer 群

术语翻译

曾定理 • 英文 Tsen’s theorem • 德文 Satz von Tsen • 法文 théorème de Tsen