环路空间

带点拓扑空间 $X$ 的环路空间 $\Omega X$ 是 $X$ 中所有从基点出发的环路构成的空间, 也就是从圆周 $S^1$ 到 $X$ 的所有保持基点的连续映射构成的空间.

另一种环路空间是拓扑空间 $X$ 的自由环路空间 $LX=X^{S^1}$, 也就是 $S^1$ 到 $X$ 的所有连续映射构成的空间.

环路空间的同伦群满足 ${\pi }_n(\Omega X)\simeq {\pi }_{n+1}(X)$, 因此 $X$ 的环路空间可以看成是在同伦意义下, 将 $X$ 降低一维得到的空间. 环路函子 $\Omega$ 的左伴随是纬悬函子 $\Sigma$, 这一对伴随函子称为纬悬–环路伴随. 这些性质在环路空间使用 $\infty$-范畴语言的定义 (命题 2.1) 中更为明显.

在环路空间 $\Omega X$ 上, 环路的复合定义了一种同伦结合的乘法运算. 这赋予它 ${\mathbb{A}}_{\infty }$ 群的结构, 也就是 ${\mathbb{E}}_1$ 群的结构. 特别地, 环路空间是 $H$ 空间. 一般地, 多重环路空间 ${\Omega }^{n}X$ 是 ${\mathbb{E}}_n$ 群的典型例子.

1定义

定义 1.1 (环路空间). 带点拓扑空间 $(X,x)$ 的环路空间是带点拓扑空间 $\Omega X$, 定义为态射集$$\Omega X={\mathsf{Top}}_{\ast }((S^1,\ast ),(X,x)),$$也就是保持基点的映射的集合, 带有紧开拓扑. 其基点为 $x$ 处常值映射.

定义 1.2 (自由环路空间). 拓扑空间 $X$ 的自由环路空间是拓扑空间 $LX$, 定义为态射集$$LX=\mathsf{Top}(S^1,X)=X^{S^1},$$带有紧开拓扑.

2性质

在 $\infty$-范畴中

在 $\infty$-范畴的语言中, 环路空间有着非常简洁的描述.

命题 2.1. 对带点拓扑空间 $(X,x)$, 在带点空间 $\infty$-范畴 $\mathsf{S}$ 中, 以下图表$$\Omega X\ast \ast X,┌$$是 (同伦) 拉回图表.

普通的拓扑空间范畴中, 此命题也可以转述如下: 以下图表$$\Omega X\mathrm{P}X\ast X,┌$$是拉回图表, 这里 $\mathrm{P}X$ 是道路空间.

群结构

(…)

3相关概念

术语翻译

环路空间 • 英文 loop space • 德文 Schleifenraum (m) • 法文 espace des lacets (m)