辫 Hopf 代数

辫 Hopf 代数, 又称准三角 Hopf 代数, 在 Hopf 代数的基础上配备了结构, 对应其模范畴上张量积的辫结构.

定义 $\tau :X\otimes Y\to Y\otimes X$ 交换线性空间张量积的两个因子. 如果 Hopf 代数本身余交换, 则 $\tau$ 本身构成 Hopf 代数模的同态, 即可作为其模范畴的对称幺半结构. 但一般来说 $\tau (\mu (x))\ne \mu (x)$, 因此 $\tau$ 不保持张量积上的模结构.

不失一般性, 我们不妨考虑在 $\tau$ 的基础上复合一个线性空间的自同构 $\rho :X\otimes Y\to X\otimes Y$ 作为修正, 使得 $\tau \circ \rho$ 保持张量积. 假设这个自同构由 $A\otimes A$ 的某个元素 $R={\sum }_i{a}_i\otimes b_i$ 左乘给出, 即 $\rho (x\otimes y)={\sum }_i{a}_{i}x\otimes b_{i}y$, 或者写作 $\rho (X)=RX$. 将这个元素需要满足的要求展开, 就得到辫 Hopf 代数的定义.

1定义

定义 1.1. 给定 Hopf 代数 $(A,m,1,\mu ,\epsilon ,\iota )$, 其辫结构为一可逆元素 $R={\sum }_i{a}_i\otimes b_i\in A\otimes A$, 使得如下等式成立: $$\begin{array}{rl}\tau (\mu (x))& =R\mu (x)R^{-1}\\ (\mu \otimes \text{id})(R)& =R_{13}{R}_{23}\\ (\text{id}\otimes \mu )(R)& =R_{13}{R}_{12}.\end{array}$$其中 $A\otimes A$ 上有自然的代数结构 $(a\otimes b)(c\otimes d)=ac\otimes bd$, 元素 $R_{13}={\sum }_i{a}_i\otimes 1\otimes b_i\in A^{\otimes 3}$, 以此类推.

2性质

•	对合映射自动可逆 (...)
•	Drinfeld 元素 $u={\sum }_{i}S(b_i)a_i$ (... 各种恒等式)

术语翻译

辫 Hopf 代数 • 英文 braided Hopf algebra

准三角 Hopf 代数 • 英文 quasitriangular Hopf algebra