范畴同构

在范畴论中, 范畴同构是指范畴间的严格同构, 也就是要求它们的对象、态射能分别一一对应.

范畴同构并不是判别两个范畴是否相同的正确条件, 因为它强于范畴等价, 从而与等价原理相悖. 换言之, 即使是应该视作相同的两个范畴, 即等价的范畴, 也不一定是同构的.

另一方面, 如果将范畴同构作为判别范畴相同的依据, 则实际上是在采用另一种观点, 即不将范畴视为通常意义下的范畴, 而将其视为一种代数结构, 我们可以称之为 “严格范畴”. 这样, 范畴同构就是 “严格范畴” 这种代数结构之间的同构.

范畴同构是范畴的 $1$-范畴中的同构, 即 “严格范畴” 的同构.

1定义

定义 1.1. 设 $\mathcal{C},\mathcal{D}$ 是范畴. 称函子 $F:\mathcal{C}\to \mathcal{D}$ 为范畴同构, 若满足以下条件:

•	$F:\mathrm{Ob}(\mathcal{C})\to \mathrm{Ob}(\mathcal{D})$ 是类的双射.

•	对任意 $x,y\in \mathrm{Ob}(\mathcal{C})$, 映射 $\mathcal{C}(x,y)\to \mathcal{D}(F(x),F(y))$ 是双射.

2相关概念

术语翻译

范畴同构 • 英文 isomorphism of categories