Frobenius 定理 (微分几何)

关于其它含义, 请参见 “Frobenius 定理”.

在微分几何中, Frobenius 定理给出光滑流形上分布可积的条件. 定理说明, 如果一个分布是对合分布, 也就是说, 该分布中的向量场的 Lie 括号仍落在该分布中, 那么该分布就可积, 并且所有积分流形构成流形的叶结构.

1陈述

定理 1.1 (Frobenius 定理). 设 $M$ 是光滑流形, $\mathcal{L}$ 是 $M$ 上分布. 则下列等价:

•	$\mathcal{L}$ 是对合分布.

•	$\mathcal{L}$ 是可积分布.

•	存在 $M$ 上的叶结构, 使得 $\mathcal{L}$ 由该叶结构中各子流形的切空间给出.

这里, 从第一条推出第二、第三条也分别称为局部 Frobenius 定理、整体 Frobenius 定理.

2参考文献

以下教材第 19 章介绍了 Frobenius 定理:

•	J. Lee (2012). Introduction to Smooth Manifolds, 2ed. Graduate Texts in Mathematics 218. Springer.

术语翻译

Frobenius 定理 • 英文 Frobenius theorem