分布 (微分几何)

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关于其它含义, 请参见 “分布”.

光滑流形上的分布是指其切丛的子丛, 即对每个点指定一个该点切空间的子空间, 并且该子空间光滑依赖于点的变化.

给定分布, 我们可以问该分布是否为可积分布, 也就是说, 这些子空间是否由某个叶结构中子流形的切空间给出. 微分几何中的 Frobenius 定理给出了分布可积的等价条件, 即要求该分布是对合分布.

1定义

定义 1.1 (分布).光滑流形, 为自然数. 则 上秩 分布 给每个点 指定切空间 维子空间 , 满足以下条件:

对任意 , 存在其开邻域 与其上 个光滑向量场 , 使得对任意 , 向量组 的一组基.

定义 1.2 (对合分布). 为开集, 上向量场, 上分布.

属于 , 若对任意 .

对合分布, 如果满足以下条件:

对任意开集 , 及 上属于 的向量场 , 其 Lie 括号 上属于 .

定义 1.3 (可积分布). 上分布.

的连通浸入子流形 称为 积分流形, 若满足对任意 .

可积分布, 若满足以下条件:

的每个点都在 的某个积分流形里.

此时, 所有积分流形构成 上的叶结构.

微分几何中的 Frobenius 定理说明, 可积分布与对合分布的概念是等价的.

2例子

, 设 . 对任意 , 定义 张成的子空间. 则 为对合分布, 也为积分分布. 其积分流形是形如 维平面, 其中 为给定的实数.

3参考文献

以下教材第 19 章介绍分布:

J. Lee (2012). Introduction to Smooth Manifolds, 2ed. Graduate Texts in Mathematics 218. Springer.

术语翻译

分布英文 distribution法文 distribution

对合分布英文 involutive distribution法文 distribution involutive