子向量空间

在线性代数中, 向量空间的子向量空间 (或线性子空间, 简称子空间) 是指该向量空间的子集, 这个子集自己也是个向量空间.

例如, 平面 ${\mathbb{R}}^2$ 的子向量空间有以下几种:

•	$0$ 维子空间只有一个, 即原点.

•	$1$ 维的子空间是所有经过原点的直线.

•	$2$ 维的子空间只有一个, 即平面自身.

向量空间的所有子空间的集合称为 Graßmann 形, 带有有趣的几何结构. 特别地, 所有 $1$ 维子空间的集合称为该向量空间的射影空间.

1定义

定义 1.1 (子向量空间). 设 $k$ 是域, $V$ 是 $k$-向量空间. 称子集 $W\subset V$ 为子向量空间, 如果满足以下条件:

•	$W$ 包含原点: $0\in W$.

•	$W$ 对加法封闭: 若 $x,y\in W$, 则 $x+y\in W$.

•	$W$ 对数乘封闭: 若 $c\in k$ 且 $x\in W$, 则 $cx\in W$.

此时, $W$ 也自然带有向量空间的结构.

2例子

•	每个向量空间 $V$ 中, 原点 $\{0\}$ 和 $V$ 自身都是 $V$ 的子向量空间.

•	在向量空间 $V$ 中取一组向量 $x_1,\dots ,x_n\in V$. 则这组向量的线性生成空间是 $V$ 的子空间, 也称为这组向量张成的子空间.

•	记 $C(\mathbb{R})$ 为所有连续函数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 的空间, $C_0(\mathbb{R})$ 为所有紧支连续函数 $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 的空间. 则 $C_0(\mathbb{R})\subset C(\mathbb{R})$ 是子向量空间. 两者都是无限维 $\mathbb{R}$-向量空间.

3性质

•	设 $W$ 是 $V$ 的子向量空间. 则含入映射 $W\hookrightarrow V$ 是线性映射, 且是单射.

•	线性映射的核、像都是子向量空间.

4相关概念

术语翻译

子向量空间 • 英文 vector subspace • 德文 Untervektorraum (m) • 法文 sous-espace vectoriel (m)

线性子空间 • 英文 linear subspace • 德文 linearer Unterraum (m) • 法文 sous-espace linéaire (m)