高阶几何

高阶几何是几何学的推广, 使用高阶范畴论、高阶代数的方法. 高阶几何之于经典几何正如范畴、$\infty$-范畴之于集合, 或高阶代数之于代数学. 高阶几何又称导出几何, 有时也将二者加以区分, 见 “想法” 一节.

高阶几何有以下主要分支:

•	高阶微分几何、导出微分几何, 推广微分几何, 研究光滑流形的推广. 前者研究轨形、微分叠、微分 $\infty$-叠等几何对象, 而后者则是进一步推广, 研究导出流形、导出光滑叠等.

•	高阶代数几何、导出代数几何, 推广代数几何, 研究概形的推广. 前者研究代数叠、代数 $\infty$-叠等几何对象, 而后者则是进一步推广, 研究导出概形、导出代数叠等.

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高阶几何的应用广泛, 特别是用于物理学中经典场论、量子场论、弦论的数学表述, 以及用于描述这些理论所启发的数学结构.

1想法

在经典几何学中, 几何对象通常可视为 “带几何结构的集合”. 例如, 在微分几何中, 光滑流形是带光滑结构的集合. 这些几何对象通常由某些基本的几何对象粘接而成, 例如, 光滑流形由 Descartes 空间 ${\mathbb{R}}^n$ 粘接而成, 而代数几何中的概形由仿射概形粘接而成.

在相应的高阶几何中, 例如在高阶微分几何中, 我们不仅考虑带几何结构的集合, 还考虑带几何结构的群胚、$\infty$-群胚. 例如, 微分叠可以视为群胚, 其对象之集、态射之集都带有光滑流形的结构. 例如对 Lie 群 $G$, 其解环群胚 (即分类叠) $[\ast /G]$ 就是微分叠, 它仅有一个对象, 其自同构群为 $G$. 更一般地, 微分 $\infty$-叠就是指 $\infty$-群胚, 其中各 $n$-态射之集都带有光滑流形的结构.

另一方面, 在相应的导出几何中, 例如在导出微分几何中, 我们不仅考虑上述推广, 也将最开始用于粘接的那些基本几何对象推广为导出几何对象. 其主要不同之处在于, 这些导出几何对象上的函数环不再是普通的交换环, 而是某种导出交换环, 例如单纯交换环或 ${\mathbb{E}}_{\infty }$-环. 在这些环中, 元素间可以有非平凡的同伦, 而这些同伦直接又可以有高阶同伦, 如此等等.

正如在同调代数中, 导出范畴、导出函子的构造能使得多数函子都表现得像是正合函子, 在导出几何中, 多数几何对象都表现得像光滑 (没有奇点) 的空间, 例如光滑流形、光滑概形, 即使它们在经典几何的意义下具有奇点. 又例如, 在导出几何中, 所有相交的几何对象都表现得像是横截相交的, 即使它们在经典意义下并非如此, 从而相交得到的几何对象也像是光滑的.

上述 “高阶”、“导出” 的想法有时视为高阶几何中的两种不同的推广方向. 这两种方向也体现于高阶或导出几何对象的切复形. 切复形是切空间的推广: 对光滑的空间, 例如光滑流形、光滑概形而言, 其切空间描述了一点附近的局部信息. 而对非光滑的空间, 则需要一个上链复形作为其切空间, 即切复形. 切复形的第 $0$ 个链上同调是经典意义下的切空间; 负的位置给出了高阶几何的信息, 即点的自同构群、自同构 $\infty$-群的各阶切空间; 正的位置则给出导出几何的信息, 例如关于非横截相交的信息.

2应用

•	在量子场论中: ∘ 在经典力学、经典场论中, 运动方程的解集是作用量的临界点集. 然而, 临界点集通常不再是光滑流形, 而会带有奇点. 另一方面, 若考虑相应的导出临界点集, 将其视为导出流形, 则其具有更好的性质, 也能给出预期的计算结果. 这也是场论中 BV–BRST 构造的想法. ∘ 在规范场论中, 场论的相空间是某个大空间关于规范群作用的商空间. 该作用可能不是自由作用, 故得到的商空间不一定光滑. 此时, 相应的商叠 (作为轨形或微分叠) 是更合理的相空间.

•	在代数几何中: ∘ 代数几何中的模空间常常是代数叠, 而代数叠是高阶几何对象. 另外, 导出几何也能简化某些模空间的构造. 例如, 在导出几何中, 完美复形函子是可表函子, 由导出代数叠 $\mathsf{Perf}$ 表出, 从而概形 $X$ 上完美复形的模叠可直接作为幂对象 ${\mathsf{Perf}}^X$ 得到.

3相关概念