用户: Xavior/轻凝聚态集的点集拓扑基础

本文目前没什么内容, 主要是指出如下引理:

引理 0.1 (Kelley). 设 $\mathcal{E}$ 是拓扑空间范畴 $\mathsf{Top}$ 的满子范畴, 它包含单点集 $\ast$. 那么对任意拓扑空间 $X$, 下列事实等价:

1.	空间 $X$ 的拓扑可以用 $\mathcal{E}$ 探测出来. 这是说 $U\subset X$ 是开子集当且仅当对每个出发域在 $\mathcal{E}$ 中的连续映射 $f:E\to X$, $f^{-1}(U)$ 都是 $E$ 中开集. 这里 “开” 也可以换成 “闭”.
2.	空间 $X$ 的拓扑可以用 $\mathcal{E}$ 中少量信息探测出来. 这是说存在一个集合 $I$ 和一族出发域在 $\mathcal{E}$ 中的连续映射 $\{f_i:E_i\to X{\}}_{i\in I}$, 使得 $U\subset X$ 是开子集当且仅当对每个 $i\in I$, $f_i^{-1}(U)$ 都是 $E_i$ 中开集. 这里 “开” 同样也可以换成 “闭”.
3.	空间 $X$ 落在 $\mathsf{Top}$ 满足下列条件 ∘ 包含 $\mathcal{E}$ ∘ 在小余极限下封闭 的最小的满子范畴中.
4.	空间 $X$ 可以写成一个小图表 $F:\mathcal{Y}\to \mathcal{E}\hookrightarrow \mathsf{Top}$ 的余极限.
5.	空间 $X$ 可以典范地写成 (未必小的) 图表 ${\mathcal{E}}_{/X}\to \mathcal{E}\hookrightarrow \mathsf{Top}$ 的余极限.

我们称这样的 $X$ 为 $\mathcal{E}$-生成空间, 它们组成的范畴记为 $⟨\mathcal{E}⟩$.

证明. 条件 1 对余极限封闭, 所以 2, 3, 4, 5 每一个都推出 1, 而且 4 推出 2 和 3. 展开定义可以验证 1 推出 5. 最后如果 $X$ 满足 1, 那么每个非开集 $K\subset X$ 都对应一个连续映射 $f_K:E_K\to X$, 使得 $f_K^{-1}(K)$ 在出发域中不是开集. 对 ${\mathcal{E}}^{\prime }=\{\ast \}\cup \{E_K{\}}_{K\subset X非开}$ 应用 1 推 5 即可得到 4.

$\square$

注 0.2.

•	其实只要 $\mathcal{E}$ 中包含一个非空空间 $A$, 上述引理就成立. 证明几乎可以照搬, 只需在验证 1 推 5 时把用到 $\ast \to X$ 的地方都换成常值映射 $A\to X$ 即可. 另外, 最后得到的 $⟨\mathcal{E}⟩$ 也会自动包含 $\ast$, 因为它是 $A$ 的收缩.
•	反之, 如果 $\mathcal{E}=\varnothing$ 或者 $\{\varnothing \}$, 结论就不对了, 因为离散空间都满足第 1 条, 但满足第 3 条的只有空集.
•	满子范畴 $⟨\mathcal{E}⟩$ 其实是个余局部化. 这是说 $i:⟨\mathcal{E}⟩\to \mathsf{Top}$ 有个右伴随 $k$, 称作关于 $\mathcal{E}$ 的 Kelley 化. 这个 $k$ 可以具体写下来: 对任意空间 $X$, $kX$ 作为集合还是 $X$, 但它的拓扑更为精细. 具体来说, $V\subset X$ 是 $kX$ 中开集当且仅当它是 $\mathcal{E}$-开集, 即对每个出发域在 $\mathcal{E}$ 中的连续映射 $f:E\to X$, $f^{-1}(V)$ 都是 $E$ 中开集.
•	进一步来说, 只要 $\mathcal{E}$ 是小范畴, $⟨\mathcal{E}⟩$ 就是可表现范畴. 证明颇为困难, 参见这里.
•	如果 $\mathcal{E}$ 中任意空间的开子空间仍在 $⟨\mathcal{E}⟩$ 中, 那么 $⟨\mathcal{E}⟩$ 本身也对取开子空间封闭. 这里 “开” 也可以换成 “闭”.
•	取开子空间的封闭性一般来自 $\mathcal{E}$ 的 “自相似性”, 这是说对 $E\in \mathcal{E}$ 和 $x\in E$, 总能找到 $x$ 的任意小的邻域 $V$ 使得 $V\in \mathcal{E}$. 取闭子空间的封闭性则比较简单粗暴, 往往是来自 $\mathcal{E}$ 本身对取闭子空间的封闭性.

例 0.3. 下面这些 $\mathcal{E}$ 是较为常见的例子:

•	为研究一般拓扑学, 可以取 $\mathcal{E}=\mathsf{CHaus}$ 为 紧 Hausdorff 空间的范畴. 此时 $⟨\mathcal{E}⟩$ 称为紧生成空间范畴, 它对取开/闭子空间都封闭. 这里 $\mathsf{CHaus}$ 可以换成投射有限集范畴 $\mathsf{Prof}$, 其对应的 $⟨\mathcal{E}⟩$ 不变.
•	类似地, 也可以取 $\mathcal{E}={\mathsf{CHaus}}^{\mathrm{light}}$ 为第二可数 (也等价于可度量化) 紧 Hausdorff 空间的范畴. 这样的空间都是 Cantor 集 $C$ 的商空间, 所以这个 $\mathcal{E}$ 是小范畴. 此时 $⟨\mathcal{E}⟩$ 称为轻紧生成 (或度量紧生成) 空间范畴, 它对取开/闭子空间也都封闭. 同理, 这里 ${\mathsf{CHaus}}^{\mathrm{light}}$ 可以换成第二可数投射有限集范畴 ${\mathsf{Prof}}^{\mathrm{light}}$, 其对应的 $⟨\mathcal{E}⟩$ 也不变. 其实这里还可以换成 $\mathcal{E}=\{{\mathbb{N}}^{▹}\}$, 其中 ${\mathbb{N}}^{▹}$ 是自然数集 $\mathbb{N}$ 作为离散空间的一点紧化. 从 ${\mathbb{N}}^{▹}$ 出发的连续映射正是收敛的序列, 因此 $⟨\mathcal{E}⟩$ 也叫做序列空间范畴.
•	如果只想研究同伦论, 可以取 $\mathcal{E}=\{[0,1{]}^n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$, 或者取 $\mathcal{E}$ 为所有拓扑单形的范畴. 此时 $⟨\mathcal{E}⟩$ 称为 $\mathbf{\Delta }$-生成空间范畴, 它对取开子空间封闭, 但不对取闭子空间封闭.

这些 $⟨\mathcal{E}⟩$ 都包含所有流形和 CW 复形. 一般的度量空间 (例如一点紧化 ${\mathbb{N}}^{▹}$ 和 Cantor 集 $C$) 是序列空间但不是 $\Delta$-生成空间, 一般的紧 Hausdorff 空间 (例如无限集合的 Stone–Čech 紧化) 是紧生成空间但不是序列空间.