张量积复形

约定. 在本文中,

• 对加性范畴 $\mathcal{A}$, 以 $\mathsf{Ch}(\mathcal{A})$ 表示 $\mathcal{A}$ 的链复形范畴, 使用同调记号.

当链复形所取值的加性范畴有张量积操作时, 链复形也有张量积操作, 是为张量积复形.

1定义

定义 1.1 (幺半结构). 设 $(\mathcal{A},\otimes )$ 是加性幺半范畴, 有可数余积. 则链复形 $X,Y\in \mathsf{Ch}(\mathcal{A})$ 的张量积是如下链复形: $$(X\otimes Y{)}_n=\underset{i+j=n}{⨁}{X}_i\otimes Y_j;$$$$\partial (x_i\otimes y_j)=\partial x_i\otimes y_j+(-1{)}^i{x}_i\otimes \partial y_j,\forall x_i\in X_i,y_j\in Y_j.$$更一般地, 对 $k\in \mathbb{N}$ 及 $X^1,\dots ,X^k\in \mathsf{Ch}(\mathcal{A})$, 它们的张量积是$$(X^1\otimes \cdots \otimes X^k{)}_n=\underset{i_1+\cdots +i_k=n}{⨁}{X}_{i_1}^1\otimes \cdots \otimes X_{i_k}^k;$$$$\partial (x_{i_1}^1\otimes \cdots \otimes x_{i_k}^k)=\partial x_{i_1}^1\otimes \cdots \otimes x_{i_k}^k+(-1{)}^{i_1}{x}_{i_1}^1\otimes \partial x_{i_2}^2\cdots \otimes x_{i_k}^k+\cdots +(-1{)}^{i_1+\cdots +i_{k-1}}{x}_{i_1}^1\otimes \cdots \otimes \partial x_{i_k}^k,$$对 $x_{i_1}^1\in X_{i_1}$, …, $x_{i_k}^k\in X_{i_k}$. 容易发现 ${\partial }^2=0$, 且 $(\mathcal{A},\otimes )$ 的结合律推出 $(\mathsf{Ch}(\mathcal{A}),\otimes )$ 的结合律, 故它给出了 $\mathsf{Ch}(\mathcal{A})$ 的幺半范畴结构.

定义 1.2 (对称幺半结构). 设 $(\mathcal{A},\otimes )$ 是加性对称幺半范畴, 有可数余积. 则上面定义的幺半结构可升级为对称幺半结构如下: 对 $X,Y\in \mathsf{Ch}(\mathcal{A})$ 可作同构$$X\otimes Y\to Y\otimes X$$$$x_i\otimes y_j\mapsto (-1{)}^{ij}{y}_j\otimes x_i$$其中 $x_i\in X_i$, $y_j\in Y_j$; 更一般地, 对 $k\in \mathbb{N}$, $X^1,\dots ,X^k\in \mathsf{Ch}(\mathcal{A})$, $\sigma \in {\mathfrak{S}}_k$, 可作同构$$X_{i_1}^1\otimes \cdots \otimes X_{i_k}^k\to X_{i_{\sigma (1)}}^{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes X_{i_{\sigma (k)}}^{\sigma (k)}$$$$x_{i_1}^1\otimes \cdots \otimes x_{i_k}^k\mapsto \mathrm{sgn}(\sigma (i_1,\dots ,i_k))x_{i_{\sigma (1)}}^{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes x_{i_{\sigma (k)}}^{\sigma (k)}$$其中 $\sigma (i_1,\dots ,i_k)\in {\mathfrak{S}}_{i_1+\cdots +i_k}$ 指置换$$\{1,\dots ,i_1+\cdots +i_k\}\to \{(j,i)\mid 1\le j\le k,1\le i\le i_j\}\to \{1,\dots ,i_1+\cdots +i_k\},$$其中第一个箭头是按字典序给中间的集合排序, 第二个箭头是按 $(\sigma (j),i)$ 的字典序给它排序. 容易发现这确实是链复形同构, 且与结合律、置换复合都相容, 故这给出 $\mathsf{Ch}(\mathcal{A})$ 的对称幺半范畴结构.

注 1.3. 如考虑单边有界链复形的张量积, 则不需要 $\mathcal{A}$ 有可数余积, 因为此时上面定义中的可数余积实为有限.

2性质

命题 2.1. 设 $(\mathcal{A},\otimes )$ 是加性幺半范畴, $X,Y,Z\in \mathsf{Ch}(\mathcal{A})$. 设 $X,Y,Z$ 都在同一边有界, 或 $\mathcal{A}$ 有可数余积. 设 $f,g:X\to Y$ 是链映射, $H:f\simeq g$ 是链同伦. 则 $H\otimes Z:f\otimes Z\simeq g\otimes Z$、$Z\otimes H:Z\otimes f\simeq Z\otimes g$ 也是链同伦.

推论 2.2. 链同伦等价构成理想. 从而定义 1.1 (1.2) 的 (对称) 幺半范畴结构诱导链复形同伦范畴、链复形 $(\infty ,1)$-范畴的 (对称) 幺半结构.

3相关概念

术语翻译

张量积复形 • 英文 tensor product complex