Lp 空间

在分析学中, ${\mathbf{L}}^{\mathbf{p}}$ 空间是一类重要的函数空间. 给定测度空间 $X$ 以及实数 $p\ge 1$, 函数 $f:X\to \mathbb{R}$ 的 ${\mathbf{L}}^{\mathbf{p}}$ 范数定义为 Lebesgue 积分$$\Vert f{\Vert }_p=({\int }_X|f(x){|}^p\mathrm{d}x{)}^{1/p},$$所有使得 $\Vert f{\Vert }_p$ 有限的函数 $f$ 构成空间 $L^p(X)$. 这一定义也能推广到 $p=\infty$ 的情况, 得到空间 $L^{\infty }(X)$. 这些 $L^p$ 空间都是 Banach 空间 (定理 3.3), 并且当 $p=2$ 时, $L^2$ 空间还是 Hilbert 空间.

$L^p$ 范数可以看成 Euclid 向量空间中 Euclid 范数的推广. 具体而言, Euclid 向量空间 ${\mathbb{R}}^n$ 可以视为集合 $X=\{1,2,\dots ,n\}$ 到 $\mathbb{R}$ 的函数构成的空间. 采用 $X$ 上的计数测度, 将函数空间的点写成坐标 $x=(x_1,\dots ,x_n)$, 则其 $L^p$ 范数为$$\Vert x{\Vert }_p=(|x_1{|}^p+\cdots +|x_n{|}^p{)}^{1/p},$$而 $p=2$ 的情况即为 Euclid 范数.

$L^p$ 空间的一个特例是 ${\mathbf{\ell }}^{\mathbf{p}}$ 空间, 即取 $X={\mathbb{Z}}_{>0}$ 并采用计数测度而得到的 $L^p$ 空间. 其元素可以视为形如 $x=(x_1,x_2,\dots )$ 的实数列, 使得范数$$\Vert x{\Vert }_p=(\sum _{i=1}^{\infty }|x_i{|}^p{)}^{1/p}$$有限.

1定义

$L^p$ 空间有实、复两种版本. 我们记 $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$, 并统一地叙述两个版本的定义. 我们采用测度论中常用的记号, 使用包含 $+\infty$ 的闭区间, 例如 $[0,+\infty ]={\mathbb{R}}_{\ge 0}\cup \{\infty \}$.

定义 1.1 ($L^p$ 范数). 设

•	$(X,\mathcal{A},\mu )$ 是测度空间.

•	$f:X\to \mathbb{K}$ 是可测函数.

•	$p\in ]0,+\infty ]$.

则 $f$ 的 ${\mathbf{L}}^{\mathbf{p}}$ 范数 (或 $\mathbf{p}$-范数), 记为 $\Vert f{\Vert }_p\in [0,+\infty ]$, 定义如下:

•	若 $0<p<\infty$, 定义$$\Vert f{\Vert }_p={\left({\int }_X|f{|}^p\mathrm{d}\mu \right)}^{1/p},$$其中的积分是 Lebesgue 积分.

•	若 $p=\infty$, 定义$$\Vert f{\Vert }_{\infty }=\inf \{a\in {\mathbb{R}}_{\ge 0}\mid |f(x)|\le a\text{ 对几乎所有 }x\in X\text{ 成立}\}.$$当 $\mu (X)>0$ 时, 这也就是 $|f|$ 的本质上确界. 此时, $L^{\infty }$ 范数也称为一致范数.

虽然 $L^p$ 范数称为范数, 但它们尚且还不是真正的范数. 有两个主要问题:

•	对上述函数 $f$, 即使 $\Vert f{\Vert }_p=0$, 也不一定有 $f=0$, 而只能得出 $f$ 几乎处处等于 $0$.

•	当 $p<1$ 时, 三角不等式并不成立. 事实上, 只要 $X$ 中存在不交的正测度集 $E,F\subset X$, 令 $f,g$ 分别为其指示函数, 则 $\Vert f+g{\Vert }_p>\Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p$.

上述第一条不难解决, 解决方法是将几乎处处相等的函数直接视为同一个函数. 这样, 几乎处处等于 $0$ 的函数就被视为 $0$. 当 $p\in [1,+\infty ]$ 时, 没有上述第二条问题, 则 $L^p$ 范数确实定义了 $L^p$ 空间上的范数. 具体的定义陈述如下.

定义 1.2 ($L^p$ 空间). 设 $(X,\mathcal{A},\mu )$ 是测度空间, 设 $p\in ]0,+\infty ]$. 定义 $X$ 上的 ${\mathbf{L}}^{\mathbf{p}}$ 空间为 $\mathbb{K}$-向量空间$$L^p(X;\mathbb{K})=\{f:X\to \mathbb{K}|f\text{ 可测, }\Vert f{\Vert }_p<+\infty \}/N,$$其中 $\Vert f{\Vert }_p$ 是定义 1.1 中的 $L^p$ 范数, $N$ 是由所有几乎处处为 $0$ 的可测函数构成的子空间, 这里取了关于 $N$ 的商向量空间. 无歧义时, 该空间也常记为 $L^p(X)$, 或直接简记为 $L^p$.

当 $p\in [1,+\infty ]$ 时, $L^p$ 范数定义了 $L^p(X;\mathbb{K})$ 上的范数, 从而使该 $L^p$ 空间成为 Banach 空间.

上述定义中, 最后一个断言将在定理 3.3 中证明.

2例子

•

对任意集合 $X$, 采用 $X$ 上的计数测度, 得到的 $L^p$ 空间称为 ${\mathbf{\ell }}^{\mathbf{p}}$ 空间, 记为 ${\ell }^p(X;\mathbb{K})$ 或 ${\ell }^p(X)$. 特别地, 取 $X={\mathbb{Z}}_{>0}$ 得到的 ${\ell }^p$ 空间常直接记为 ${\ell }^p$, 这也是所有使得$$\Vert x{\Vert }_p={\left(\sum _{n=1}^{\infty }|x_n{|}^p\right)}^{1/p}$$收敛的序列 $x=(x_n{)}_{n\ge 1}$ 的集合.

•	概率空间 $(\Omega ,\mathcal{F},\mathbb{P})$ 上的 $L^p$ 空间可以写成$$L^p(\Omega ;\mathbb{K})=\{X:\Omega \to \mathbb{K}\mid X\text{ 是随机变量, }\mathbb{E}(|X{|}^p)<\infty \}.$$

3性质

以下设 $(X,\mathcal{A},\mu )$ 是测度空间.

基本性质

定理 3.1 (Hölder 不等式). 设 $1\le p\le \infty$, $q$ 满足 $1/p+1/q=1$, 即 $p,q$ 互为共轭指数, 且 $f,g$ 是 $X$ 上的可测函数. 则$$\Vert fg{\Vert }_1\le \Vert f{\Vert }_p\Vert g{\Vert }_q.$$特别地, 如果 $f\in L^p,g\in L^q$, 则 $fg\in L^1$. 等号成立条件描述如下:

•	如果 $1<p,q<\infty$, 则等号成立当且仅当 $|f{|}^p$ 和 $|g{|}^q$ 几乎处处成比例.

•	如果 $p=1,q=\infty$, 则等号成立当且仅当 $g$ 在 $f$ 的零点集以外几乎处处等于 $\Vert g{\Vert }_{\infty }$.

证明. 如果 $\Vert f{\Vert }_p,\Vert g{\Vert }_q$ 中有等于 $0$ 或 $\infty$ 的, 则不等式显然成立, 下面假设不是这样. 分两个部分证明.

•	如果 $1<p,q<\infty$, 注意到将 $f,g$ 乘以一个非零实数不影响结果, 不妨设 $\Vert f{\Vert }_p=\Vert g{\Vert }_q=1$. 此时根据 Young 不等式: $$|f(x)g(x)|\le p^{-1}|f(x){|}^p+q^{-1}|g(x){|}^q,$$两边积分: $$\Vert fg{\Vert }_1\le p^{-1}\int |f{|}^p+q^{-1}\int |g{|}^q=1=\Vert f{\Vert }_p\Vert g{\Vert }_q,$$不等式得证. 根据 Young 不等式的取等条件就得到取等条件.

•	如果 $p=1,q=\infty$, 对任意 $a>0$, 设 $E_a=\{x\mid |g(x)|>a\}$. 如果 $\mu (E_a)=0$, 则$$\Vert fg{\Vert }_1=\int |fg|={\int }_{X\backslash E_a}|fg|\le a{\int }_{X\backslash E_a}|f|\le a\Vert f{\Vert }_1,$$对 $a$ 取下确界得 $\Vert fg{\Vert }_1\le \Vert f{\Vert }_1\Vert g{\Vert }_{\infty }$. 不难得到取等条件.

$\square$

关于此不等式还可以参见条目 Hölder 不等式. 下面的结论实际上就是 $L^p$ 空间的三角不等式.

定理 3.2 (Minkowski 不等式). 如果 $1\le p\le \infty$, $f,g\in L^p$, 则$$\Vert f+g{\Vert }_p\le \Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p.$$

证明. 如果 $p=1,\infty$ 或 $f+g=0$ 几乎处处成立, 则不等式显然成立. 否则, 我们有$$|f+g{|}^p\le (|f|+|g|)|f+g{|}^{p-1},$$从而由定理 3.1 得$$\begin{array}{rl}\int |f+g{|}^p& \le \Vert f{\Vert }_p\Vert |f+g{|}^{p-1}{\Vert }_q+\Vert g{\Vert }_p\Vert |f+g{|}^{p-1}{\Vert }_q\\ & =(\Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p){\left(\int |f+g{|}^p\right)}^{1/q},\end{array}$$于是$$\Vert f+g{\Vert }_p={\left(\int |f+g{|}^p\right)}^{1-1/q}\le \Vert f{\Vert }_p+\Vert g{\Vert }_p.$$

$\square$

这个不等式说明 $p$-范数在 $p\ge 1$ 时确实是范数, 于是 $L^p$ 空间是赋范线性空间. 更进一步:

定理 3.3 (Riesz–Fisher 定理). 对任意 $1\le p\le \infty$, $L^p$ 都是 Banach 空间.

证明. 根据 Banach 空间的性质, 只要证明, 对于序列 $(f_k{)}_{k\ge 1}\subset L^p$, 如果 ${\sum }_{k=1}^{\infty }\Vert f_k{\Vert }_p=B<\infty$, 则 ${\sum }_{k=1}^{\infty }{f}_k$ 必在 $L^p$ 意义下收敛.

设 $G_n={\sum }_{k=1}^n|f_k|,G={\sum }_{k=1}^{\infty }|f_k|$. 则由定理 3.2, $\Vert G_n{\Vert }_p\le {\sum }_{k=1}^n\Vert f_k{\Vert }_p\le B$. 根据单调收敛定理: $$\int G^p=\underset{n\to \infty }{\lim }\int G_n^p\le B^p,$$也就是 $G\in L^p$. 特别地, 对几乎所有 $x$ 有 $G(x)<\infty$. 于是 ${\sum }_{k=1}^{\infty }{f}_k$ 几乎处处收敛, 记其和是 $F$. 则 $|F|\le G$, 所以 $F\in L^p$. 令 $F_n={\sum }_{k=1}^n{f}_k$, 则 $|F-F_n{|}^p\le (|F|+|F_n|{)}^p\le (2G{)}^p$, 得到 $|F-F_n{|}^p\in L^1$. 根据控制收敛定理: $$\underset{n\to \infty }{\lim }\Vert F-F_n{\Vert }_p^p=\underset{n\to \infty }{\lim }\int |F-F_n{|}^p=0,$$也就是在 $L^p$ 意义下 $F_n\to F$.

$\square$

如果 $p=2$, 则还是 Hilbert 空间, 可以定义内积. 如果 $p<1$, 则无法得到此种性质; 但还可以证明 $L^p$ 是向量空间和完备度量空间.

另外, $L^p$ 空间还可以被简单函数逼近.

命题 3.4. 对任意 $1\le p\le \infty$, 简单函数$$f=\sum _{j=1}^n{a}_j{\chi }_{E_j},\mu (E_j)<\infty$$组成的集合在 $L^p$ 中稠密.

证明.

证明. 上述的函数当然属于 $L^p$. 取 $f\in L^p$, 则可以找到一列简单函数 $(f_n{)}_{n\ge 1}$, 使得 $|f_n|\le |f|$, 且 $f_n\to f$ 几乎处处成立. 此时 $f_n\in L^p$, 且$$|f_n-f{|}^p\le (|f|+|f_n|{)}^p\le 2^p|f{|}^p,$$所以根据控制收敛定理, $\Vert f_n-f{\Vert }_p\to 0$.

最后, 设 $f_n={\sum }_j{a}_j{\chi }_{E_j},a_j\ne 0$, 因为$$\int |f_n{|}^p=\sum _j|a_j{|}^p\mu (E_j)<\infty ,$$所以对任意 $j$ 都有 $\mu (E_j)<\infty$.

$\square$

如果 $X$ 是局部紧的 Hausdorff 空间, $\mu$ 是 Radon 测度, 则紧支连续函数空间 $C_c(X)$ 也是在 $L^p(X)$ 中稠密的.

嵌入

对任意的 $1\le p<q\le \infty$, 一般情况下 $L^p,L^q$ 是互不包含的. 直观来说, 前者中包含一些局部更加不规则的函数, 而后者中则包含当自变量趋于无穷时更慢地趋于零的函数. 不过, 我们有下面的结果.

命题 3.5. 如果 $0<p<q<r\le \infty$, 则 $L^q\subset L^p+L^r$. 换言之, 如果 $f\in L^q$, 则存在 $g\in L^p,h\in L^r$ 使得 $f=g+h$.

证明.

证明. 如果 $f\in L^q$, 令 $E=\{x\mid |f(x)|>1\}$, 以及 $g=f{\chi }_E,h=f{\chi }_{X\backslash E}$. 则 $|g{|}^p=|f{|}^p{\chi }_E\le |f{|}^q{\chi }_E$, 得到 $g\in L^p$. 而 $|h{|}^r=|f{|}^r{\chi }_{X\backslash E}\le |f{|}^q{\chi }_{X\backslash E}$, 所以 $h\in L^r$. 显然 $f=g+h$.

$\square$

下面的插值不等式显示了另一种嵌入的方式.

定理 3.6 (插值不等式). 如果 $0<p<q<r\le \infty$, 则 $L^p\cap L^r\subset L^q$, 且对任意 $f\in L^p\cap L^r$: $$\Vert f{\Vert }_q\le \Vert f{\Vert }_p^{\lambda }\Vert f{\Vert }_r^{1-\lambda },$$其中 $\lambda$ 满足$$q^{-1}=\lambda p^{-1}+(1-\lambda )r^{-1},$$即 $\lambda =(q^{-1}-r^{-1})/(p^{-1}-r^{-1})$.

证明. 如果 $r=\infty$, 则 $|f{|}^q\le \Vert f{\Vert }_{\infty }^{q-p}|f{|}^p$, 两边积分得$$\Vert f{\Vert }_q\le \Vert f{\Vert }_p^{p/q}\Vert f{\Vert }_{\infty }^{1-p/q}=\Vert f{\Vert }_p^{\lambda }\Vert f{\Vert }_{\infty }^{1-\lambda }.$$

如果 $r<\infty$, 注意到 $\frac{\lambda q}{p}+\frac{(1-\lambda )q}{r}=1$, 使用定理 3.1, $$\begin{array}{rl}\int |f{|}^q& =\int |f{|}^{\lambda q}|f{|}^{(1-\lambda )q}\le \Vert |f{|}^{\lambda q}{\Vert }_{p/(\lambda q)}\Vert |f{|}^{(1-\lambda )q}{\Vert }_{r/((1-\lambda )q)}\\ & ={\left(\int |f{|}^p\right)}^{\lambda q/p}{\left(\int |f{|}^r\right)}^{(1-\lambda )q/r}\\ & =\Vert f{\Vert }_p^{\lambda q}\Vert f{\Vert }_r^{(1-\lambda )q}.\end{array}$$

$\square$

由此可得下面的推论, 它说明了 $p=\infty$ 时的范数虽然看起来不同, 实际上却是有联系的.

推论 3.7. 如果 $f\in L^p\cap L^{\infty }$, $p<\infty$, 则对任意 $q>p$ 有 $f\in L^q$, 且$$\Vert f{\Vert }_{\infty }=\underset{q\to \infty }{\lim }\Vert f{\Vert }_q.$$

另外, 如果全空间的测度有限, 或者空间为 ${\ell }^p$ 空间, 则存在包含关系.

命题 3.8. 以下设 $f$ 是可测函数.

•	如果 $A$ 是集合, $0<p<q\le \infty$, 则 ${\ell }^p(A)\subset {\ell }^q(A)$, 且 $\Vert f{\Vert }_q\le \Vert f{\Vert }_p$.

•	如果 $\mu (X)<\infty$, $0<p<q\le \infty$, 则 $L^p(X)\supset L^q(X)$, 且$$\Vert f{\Vert }_p\le \Vert f{\Vert }_q\mu (X{)}^{1/p-1/q}.$$

证明.

证明.

•

第一部分: 显然$$\Vert f{\Vert }_{\infty }^p=\underset{\alpha \in A}{\sup }|f(\alpha ){|}^p\le \sum _{\alpha \in A}|f(\alpha ){|}^p,$$所以 $\Vert f{\Vert }_{\infty }\le \Vert f{\Vert }_p$. 进一步, 对 $q<\infty$, 由定理 3.6: $$\Vert f{\Vert }_q\le \Vert f{\Vert }_p^{\lambda }\Vert f{\Vert }_{\infty }^{1-\lambda }\le \Vert f{\Vert }_p,$$其中 $\lambda =p/q$.

•

第二部分: 如果 $q=\infty$, 则$$\Vert f{\Vert }_p^p=\int |f{|}^p\le \Vert f{\Vert }_{\infty }^p\int 1=\Vert f{\Vert }_{\infty }^p\mu (X),$$也就得到结论. 如果 $q<\infty$, 由定理 3.1: $$\Vert f{\Vert }_p^p=\int |f{|}^p\cdot 1\le \Vert |f{|}^p{\Vert }_{q/p}\Vert 1{\Vert }_{q/(q-p)}=\Vert f{\Vert }_q^p\mu (X{)}^{(q-p)/q},$$也就得到结论.

$\square$

上述命题的第二部分说明: $L^q$ 可以连续地嵌入 $L^p$, 也就是恒等映射 $I:L^q\to L^p$ 是有界连续的, 且$$\Vert I\Vert =\mu (X{)}^{1/p-1/q}.$$

对偶空间

$L^p$ 空间的对偶空间, 即其上所有连续线性泛函组成的空间, 由 $L^q$ 空间给出, 其中 $q$ 是 $p$ 的共轭指数.

定理 3.9 (对偶空间). 设 $p,q\in [1,+\infty ]$ 是一对共轭指数. 则有 Banach 空间的等距嵌入$$\begin{array}{rl}{L}^q(X)& ⟶L^p(X{)}^{\ast },\\ g& ⟼{\int }_X(-)\cdot g\mathrm{d}\mu .\end{array}$$

进一步地, 如果满足下列两个条件之一:

•	$1<p<\infty$, 或者

•	$p=1$, 且 $X$ 是 $\sigma$-有限测度空间,

则上述映射给出了 Banach 空间的等距同构$$L^p(X{)}^{\ast }\simeq L^q(X).$$

为证明上述定理, 我们需要下面的结论, 它说明一个函数是否属于 $L^p$ 空间可以用它与简单函数乘积的积分来刻画.

引理 3.10. 设 $p,q$ 是一组共轭指数. 设 $\Sigma$ 表示所有在一个有限测度集以外消失的简单函数的集合. 如果可测函数 $g$ 满足: 对任意 $f\in \Sigma$ 有 $fg\in L^1$, 且$$M_q(g)=\sup \left\{\left|\int fg\right||f\in \Sigma ,\Vert f{\Vert }_p=1\right\}$$是有限数, 而且集合 $S_g=\{x\mid g(x)\ne 0\}$ 是 $\sigma$-有限的, 则 $g\in L^q$, 且 $M_q(g)=\Vert g{\Vert }_q$.

证明.

证明. 我们事先证明: 如果 $f$ 是一个有界可测函数, 在一个有限测度集合 $E$ 以外消失, 且 $\Vert f{\Vert }_p=1$, 则 $\left|\int fg\right|\le M_q(g)$. 实际上, 可以取一列简单函数 $(f_n{)}_{n\ge 1}$, 满足 $|f_n|\le |f|$, 且几乎处处 $f_n\to f$. 因为 $|f_n|\le \Vert f{\Vert }_{\infty }{\chi }_E$, 且由 Hölder 不等式 3.1 可得 ${\chi }_{E}g\in L^1$, 故由控制收敛定理: $\left|\int fg\right|=\lim \left|\int f_{n}g\right|\le M_q(g)$.

现在假设 $q<\infty$. 设 $(E_n{)}_{n\ge 1}$ 是一列递增的有限测度集, 满足 $S_g={\bigcup }_{n=1}^{\infty }{E}_n$. 设 $({\varphi }_n{)}_{n\ge 1}$ 为一列简单函数, 满足 $|{\varphi }_n|\le |g|$ 且 ${\varphi }_n\to g$. 令 $g_n={\varphi }_n{\chi }_{E_n}$, 则 $(g_n)$ 也满足 $({\varphi }_n)$ 的性质, 且 $g_n$ 在 $E_n$ 外消失. 令$$f_n=\frac{|g_n{|}^{q-1}\mathrm{sgn}(g)}{\Vert g_n{\Vert }_q^{q-1}},$$则不难计算出 $\Vert f_n{\Vert }_p=1$. 根据 Fatou 引理: $$\begin{array}{rl}\Vert g{\Vert }_q& \le \underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}\Vert g_n{\Vert }_q=\underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}\int |f_n{g}_n|\\ & \le \underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}\int |f_{n}g|=\underset{n\to \infty }{\mathrm{liminf}}\int f_{n}g\le M_q(g).\end{array}$$在推导中, 最后一个不等号使用了事先证明的结论. 反过来, Hölder 不等式表明 $M_q(g)\le \Vert g{\Vert }_q$, 也就证明了 $q<\infty$ 时定理成立.

现在假设 $q=\infty$. 用反证法. 对任意 $ϵ>0$, 令 $A=\{x\mid |g(x)|\ge M_{\infty }(g)+ϵ\}$. 如果 $\mu (A)>0$, 则可取 $B\subset A$ 使得 $0<\mu (B)<\infty$, 这是因为 $A\subset S_g$. 令 $f=\mu (B{)}^{-1}{\chi }_B\mathrm{sgn}(g)$, 则 $\Vert f{\Vert }_1=1$, 且 $\int fg=\mu (B{)}^{-1}{\int }_B|g|\ge M_{\infty }(g)+ϵ$. 但根据事先证明的结论, 这是不可能的. 于是 $q=\infty$ 时定理也成立.

$\square$

定理 3.9 的证明. 为了证明等距同构, 需要验证两个问题:

1.	$g\mapsto {\varphi }_g(f)=\int fg$ 是等距的, 即 $\Vert g\Vert =\Vert {\varphi }_g\Vert$.
2.	$g\mapsto {\varphi }_g(f)=\int fg$ 是满射, 即对任意 $\varphi \in (L^p{)}^{\ast }$ 都存在 $g\in L^q$ 使得 $\varphi ={\varphi }_g$. (单射是显然的)

第一个问题较易解决. 根据 Hölder 不等式, $\Vert {\varphi }_g\Vert \le \Vert g{\Vert }_q$. 另一方面, 首先 $g=0$ 时命题显然成立; 否则, 如果 $q<\infty$, 令$$f=\frac{|g{|}^{q-1}\mathrm{sgn}(g)}{\Vert g{\Vert }_q^{q-1}},$$则不难得到 $\Vert f{\Vert }_p=1$, 以及$$\Vert {\varphi }_g\Vert \ge \int fg=\Vert g{\Vert }_q.$$于是命题成立. 如果 $q=\infty$(即 $p=1$), 对任意 $ϵ>0$ 令 $A=\{x\mid |g(x)|>\Vert g{\Vert }_{\infty }-ϵ\}$. 则 $\mu (A)>0$, 根据 $\mu$ 是 $\sigma$-有限的, 可找到 $B\subset A$ 使得 $0<\mu (B)<\infty$. 此时令$$f=\mu (B{)}^{-1}{\chi }_B\mathrm{sgn}(g),$$得到 $\Vert f{\Vert }_1=1$, 且$$\Vert {\varphi }_g\Vert \ge \int fg=\mu (B{)}^{-1}{\int }_B|g|\ge \Vert g{\Vert }_{\infty }-ϵ.$$令 $ϵ\to 0^{+}$ 得到结果.

对于第二个问题, 我们逐步来做. 第一步: 如果 $\mu$ 是有限测度, 则所有简单函数都是 $L^p$ 的. 设 $\varphi \in (L^p{)}^{\ast }$, $E$ 是可测集, 令$$\nu (E)=\varphi ({\chi }_E).$$对任意不交的集合序列 $(E_n{)}_{n\ge 1}$, 如果 $E={\bigcup }_{n=1}^{\infty }{E}_n$, 则 ${\chi }_E={\sum }_{n=1}^{\infty }{\chi }_{E_n}$, 其中级数在 $L^p$ 意义收敛: $${\Vert {\chi }_E-\sum _{j=1}^n{\chi }_{E_j}\Vert }_p={\Vert \sum _{j=n+1}^{\infty }{\chi }_{E_j}\Vert }_p=\mu {\left(\bigcup _{j=n+1}^{\infty }{E}_j\right)}^{1/p}\to 0,n\to \infty .$$结合 $\varphi$ 的线性性和连续性, $$\nu (E)=\sum _{n=1}^{\infty }\varphi ({\chi }_{E_n})=\sum _{n=1}^{\infty }\nu (E_n),$$这就证明了 $\nu$ 确实是一个测度. 另外, 如果 $\mu (E)=0$, 则 ${\chi }_E=0$(作为 $L^p$ 的元素), 从而 $\nu (E)=0$, 也就是说 $\nu$ 是关于 $\mu$ 绝对连续的. 根据 Radon–Nikodym 定理, 存在 $g\in L^1(\mu )$ 使得 $\varphi ({\chi }_E)=\nu (E)={\int }_{E}g\mathrm{d}\mu$ 对任意 $E$ 成立, 从而根据线性性可得 $\varphi (f)=\int fg\mathrm{d}\mu$ 对任意简单函数 $f$ 成立. 根据引理 3.10, 因为 $\left|\int fg\right|\le \Vert \varphi \Vert \Vert f{\Vert }_p$, 所以 $g\in L^q$. 根据稠密性质 3.4 得 $\varphi (f)=\int fg\mathrm{d}\mu$ 对任意 $f\in L^p$ 都成立.

第二步: 如果 $\mu$ 是 $\sigma$-有限的测度, 设 $(E_n{)}_{n\ge 1}$ 是一列递增的集合, 满足 $0<\mu (E_n)<\infty$, 且 $X={\bigcup }_{n=1}^{\infty }{E}_n$. 我们现在把 $L^p(E_n)$ 视为 $L^p(X)$ 的子空间, 其中的函数在 $E_n$ 以外消失. 根据有限测度的成果, 存在 $g_n\in L^q(E_n)$ 使得 $\varphi (f)=\int f{g}_n$ 对任意 $f\in L^p(E_n)$ 成立, 且 $\Vert g_n{\Vert }_q=\Vert \varphi {|}_{L^p(E_n)}\Vert \le \Vert \varphi \Vert$. 不难得到 $g_n=g_m$ 在 $E_n$ 几乎处处成立, 其中 $n<m$, 则可以定义 $X$ 上的函数 $g$, 它在 $E_n$ 中的值与 $g_n$ 一致. 根据单调收敛定理, $\Vert g{\Vert }_q=\lim \Vert g_n{\Vert }_q\le \Vert \varphi \Vert$. 于是 $g\in L^q$. 进一步, 对任意 $f\in L^p$, 由控制收敛定理: $f{\chi }_{E_n}\to f$ 在 $L^p$ 意义下成立, 从而$$\varphi (f)=\underset{n\to \infty }{\lim }\varphi (f{\chi }_{E_n})=\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_{E_n}fg=\int fg.$$

第三步: 如果 $\mu$ 是任意测度, 且 $1<p<\infty$, 则对任意 $\sigma$-有限的集合 $E\subset X$, 存在 (在几乎意义下) 唯一的 $g_E\in L^q(E)$ 使得 $\varphi (f)=\int f{g}_E,\forall f\in L^p(E)$, 且 $\Vert g_E{\Vert }_q\le \Vert \varphi \Vert$. 如果 $F$ 是 $\sigma$-有限的, 且 $E\subset F$, 则 $g_F=g_E$ 在 $E$ 中几乎处处成立, 从而 $\Vert g_F{\Vert }_q\ge \Vert g_E{\Vert }_q$. 令$$M=\sup \{\Vert g_E{\Vert }_q\mid E\subset X是\sigma \text{-}有限的\},$$则 $M\le \Vert \varphi \Vert$. 找一个序列 $(E_n{)}_{n\ge 1}$ 使得 $\Vert g_{E_n}{\Vert }_q\to M$, 且令 $F={\bigcup }_{n=1}^{\infty }{E}_n$. 此时 $F$ 是 $\sigma$-有限的, 且 $\Vert g_F{\Vert }_q\ge \Vert g_{E_n}{\Vert }_q$ 对任意的 $n$ 成立, 从而 $\Vert g_F{\Vert }_q=M$. 现在, 如果 $A$ 是包含 $F$ 的 $\sigma$-有限集, 则$$\int |g_F{|}^q+\int |g_{A\backslash F}{|}^q=\int |g_A{|}^q\le M^q=\int |g_F{|}^q,$$从而 $g_{A\backslash F}=0$, 也就是 $g_A=g_F$ 几乎处处成立. (这里使用了 $q<\infty$) 如果 $f\in L^p$, 则 $A=F\cup \{x\mid f(x)\ne 0\}$ 是 $\sigma$-有限的, 从而$$\varphi (f)=\int f{g}_A=\int f{g}_F.$$这时只要取 $g=g_F$, 就完成了证明.

$\square$

推论 3.11. 设 $1<p<\infty$, 则 $L^p$ 是自反 Banach 空间.

与积分算子有关的不等式

设 $(X,\mathcal{A},\mu )$ 和 $(Y,\mathcal{B},\nu )$ 是测度空间, 可以考虑它们的乘积测度空间 $(X\times Y,\mathcal{A}\otimes \mathcal{B},\mu \times \nu )$. 如果 $K$ 是乘积空间上的可测函数, 可以研究积分算子$$Tf(x)=\int K(x,y)f(y)\mathrm{d}\nu (y)$$的问题.

命题 3.12. 设 $(X,\mathcal{A},\mu )$ 和 $(Y,\mathcal{B},\nu )$ 是 $\sigma$-有限的测度空间, $K$ 是前述乘积空间上的可测函数, $1\le p\le \infty$. 如果存在 $C>0$, 使得$$\int |K(x,y)|\mathrm{d}\mu (x)\le C,\int |K(x,y)|\mathrm{d}\nu (y)\le C$$分别对几乎所有的 $y\in Y,x\in X$ 成立, 则对任意 $f\in L^p(Y)$, 积分$$Tf(x)=\int K(x,y)f(y)\mathrm{d}\nu (y)$$对几乎所有 $x$ 绝对收敛. 此时 $Tf\in L^p(X)$, 且$$\Vert Tf{\Vert }_p\le C\Vert f{\Vert }_p.$$

证明.

证明. (…)

$\square$

接下来的不等式是 Minkowski 不等式的一般形式.

定理 3.13 (Minkowski 不等式, 一般形式). 设 $(X,\mathcal{A},\mu )$ 和 $(Y,\mathcal{B},\nu )$ 是 $\sigma$-有限的测度空间, $f$ 是其乘积空间上的可测函数.

•	如果 $f$ 是非负函数, $1\le p<\infty$, 则$${\left(\int {\left(\int f(x,y)\mathrm{d}\nu (y)\right)}^p\mathrm{d}\mu (x)\right)}^{1/p}\le \int {\left(\int f(x,y{)}^p\mathrm{d}\mu (x)\right)}^{1/p}\mathrm{d}\nu (y).$$

•

如果 $1\le p\le \infty$, 且 $f(\cdot ,y)\in L^p(X)$ 对几乎所有 $y$ 成立, 函数 $y\mapsto \Vert f(\cdot ,y){\Vert }_p$ 在 $L^1(Y)$ 中, 则 $f(x,\cdot )\in L^1(Y)$ 对几乎所有 $x$ 成立, 函数 $x\mapsto \int f(x,y)\mathrm{d}\mu (y)$ 在 $L^p(X)$ 中, 且有不等式$${\Vert \int f(\cdot ,y)\mathrm{d}\nu (y)\Vert }_p\le \int \Vert f(\cdot ,y){\Vert }_p\mathrm{d}\nu (y).$$

证明. (…)

$\square$

如果令 $Y$ 为有限集, $\nu$ 为计数测度, 则可以得到定理 3.2.

作为 Minkowski 不等式一般情况的应用, 下面的在 Lebesgue 测度中考虑的不等式对于 Hardy 不等式的研究很有用处.

命题 3.14. 设 $K$ 是在 $]0,\infty {[}^2$ 上关于 Lebesgue 测度的可测函数, 满足 $K(\lambda x,\lambda y)={\lambda }^{-1}K(x,y)$ 对任意 $\lambda >0$ 成立, 且$${\int }_0^{\infty }|K(x,1)|x^{-1/p}\mathrm{d}x=C<\infty$$对某个 $p\in [1,\infty ]$ 成立. 设 $q$ 是 $p$ 的共轭指数. 对 $f\in L^p,g\in L^q$, 令$$Tf(y)={\int }_0^{\infty }K(x,y)f(x)\mathrm{d}x,Sg(x)={\int }_0^{\infty }K(x,y)g(y)\mathrm{d}y,$$则 $Tf,Sg$ 对几乎所有点有定义, 且$$\Vert Tf{\Vert }_p\le C\Vert f{\Vert }_p,\Vert Sg{\Vert }_q\le C\Vert g{\Vert }_q.$$

证明.

证明. (…)

$\square$

插值定理

在嵌入一节中可以了解到: 如果 $1\le p<q<r\le \infty$, 那么$$L^p\cap L^r\subset L^q\subset L^p+L^r.$$在 $L^p+L^r$ 上定义的线性映射, 如果它在 $L^p,L^r$ 有界, 那么它是否在 $L^q$ 也有界? 答案是肯定的, 且这个结论可以推广到更为广泛的情形中. 下面的插值定理将解答这类问题.

定理 3.15 (Riesz–Thorin 插值定理). 设 $(X,\mathcal{A},\mu )$ 和 $(Y,\mathcal{B},\nu )$ 是测度空间, $p_0,p_1,q_0,q_1\in [1,\infty ]$. 如果 $q_0=q_1=\infty$, 则假设 $\nu$ 是半有限的. 对 $0<t<1$, 定义 $p_t,q_t$ 由$$\frac{1}{p_t}=\frac{1-t}{p_0}+\frac{t}{p_1},\frac{1}{q_t}=\frac{1-t}{q_0}+\frac{t}{q_1}$$确定.

如果 $T:L^{p_0}(X)+L^{p_1}(X)\to L^{q_0}(Y)+L^{q_1}(Y)$ 是线性映射, 满足对正数 $M_0,M_1$: $$\begin{gathered} \Vert Tf{\Vert }_{q_0}\le M_0\Vert f{\Vert }_{p_0},\forall f\in L^{p_0}(X), \\ \Vert Tf{\Vert }_{q_1}\le M_1\Vert f{\Vert }_{p_1},\forall f\in L^{p_1}(X), \end{gathered}$$则对任意 $0<t<1$ 和 $f\in L^{p_t}(X)$, 有$$\Vert Tf{\Vert }_{q_t}\le M_0^{1-t}{M}_1^t\Vert f{\Vert }_{p_t}.$$

证明它需要下面的复分析中的结论.

引理 3.16 (三直线引理). 设 $\varphi :\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ 是在条带 $0\le \mathrm{Re}(z)\le 1$ 有界的连续函数, 且在条带的内部是全纯函数. 如果在直线 $\mathrm{Re}(z)=0$ 上有 $|\varphi (z)|\le M_0$, 在直线 $\mathrm{Re}(z)=1$ 上有 $|\varphi (z)|\le M_1$, 则对任意 $0<t<1$, 在直线 $\mathrm{Re}(z)=t$ 上有 $|\varphi (z)|\le M_0^{1-t}{M}_1^t$.

定理 3.15 的证明. (…)

$\square$

如果用 $M(t)$ 表示 $T$ 在 $L^{p_t}(X)\to L^{q_t}(Y)$ 范围的算子范数, 则根据定理 3.15 还可得 $M(t)$ 是对数凸的. 换言之, 如果 $0<s<t<u<1$, 且 $t=(1-\tau )s+\tau u$, 则$$M(t)\le M(s{)}^{1-\tau }M(u{)}^{\tau }.$$

插值定理还可以进一步地推广, 参见 Marcinkiewicz 插值定理.

4推广

可以谈及弱 $L^p$ 空间, 流形上的 $L^p$ 空间以及向量值函数的 $L^p$ 空间等

5相关概念

术语翻译

$L^p$ 空间 • 英文 $L^p$ space • 德文 $L^p$-Raum • 法文 espace $L^p$ • 日文 $L^p$ 空間 (エルピーくうかん)