Gorenstein 环

约定. 在本文中,

Gorenstein 环是一类特殊的 Cohen–Macaulay 环. 局部上看, 它的内射维数有限.

1定义

定义 1.1. 称 Noether 局部环 $A$ 为 Gorenstein 局部环, 如果作为其自身上的模, 其内射维数有限: $id (A) < \infty.$

称 Noether 环 $A$ 为 Gorenstein 环, 若其在任意素理想处的局部化都是 Gorenstein 局部环.

命题 2.1. 记 Noether 局部环 $A$ 的极大理想为 $m$ , 剩余域为 $k$ , 维数 $dim A = n$ . 则下列条件等价:

•	$A$ 是 Gorenstein 局部环, 即其内射维数 $id (A) < \infty$ .
•	其内射维数 $id (A) = n$ .
•	对任意 $i \neq = n$ , 都有 $Ext_{A}^{i} (k, A) = 0$ , 而 $Ext_{A}^{n} (k, A) ≅ k$ .
•	存在 $i > n$ , 使得 $Ext_{A}^{i} (k, A) = 0$ .
•	对任意 $i < n$ , 都有 $Ext_{A}^{i} (k, A) = 0$ , 而 $Ext_{A}^{n} (k, A) ≅ k$ .
•	$A$ 是 Cohen–Macaulay 环且 $Ext_{A}^{n} (k, A) ≅ k$ .
•	$A$ 是 Cohen–Macaulay 环且 $A$ 的任何参数系 $a_{1}, \dots, a_{n}$ 生成的理想 $(a_{1}, \dots, a_{n})$ 都不可约.
•	$A$ 是 Cohen–Macaulay 环且存在 $A$ 的参数系 $a_{1}, \dots, a_{n}$ 使得其生成的理想 $(a_{1}, \dots, a_{n})$ 是不可约的.

这里理想 $I$ 不可约是指不存在别的理想 $I_{1}, I_{2}$ 使得 $I ⫋ I_{1}, I ⫋ I_{2}$ 且 $I_{1} \cap I_{2} = I .$

命题 2.2.

•	Gorenstein 局部环在素理想处的局部化仍是 Gorenstein 局部环.

•	Gorenstein 环上的多项式环也是 Gorenstein 环.

命题 2.3. Noether 局部环 $A$ 是 Gorenstein 局部环, 当且仅当其完备化 $\hat{A}$ 是 Gorenstein 局部环.

命题 2.4. Noether 局部环 $A$ 是 Gorenstein 局部环等价于其极小内射消解 $0 \to A \to I^{0} \to I^{1} \to \dots$ 满足 $I^{i} ≅ ht p = i ⨁ E (A / p),$ 这里 $E (-)$ 指内射包.

•	完全交环是 Gorenstein 环.

...

术语翻译

Gorenstein 环 • 英文 Gorenstein ring • 日文 Gorenstein 環