深度

约定. 在本文中,

• 所有环都指交换环.

深度是个交换代数概念, 是交换环上模的一个同调不变量, 大体描述其正则序列最长有多长.

1定义

定义 1.1. $R$ 是环, $M$ 是 $R$-模, $I$ 是 $R$ 的理想. 则 $M$ 的 $\mathbf{I}$-深度, 记作 ${\mathrm{depth}}_I(M)$, 定义为$$\inf \{i\in \mathbb{N}\mid {\mathrm{Ext}}_R^i(R/I,M)\ne 0\}.$$

当 $(R,\mathfrak{m})$ 是局部环时, $M$ 的深度指的是 $M$ 的 $\mathfrak{m}$-深度, 此时也在记号中省略 $\mathfrak{m}$. 局部环 $R$ 的深度指的是它作为自己的模的深度. 一般环的深度指的是其在各处局部化的深度上确界.

注 1.2. 依定义:

•	零模的深度是 $\infty$.
•	非零模的 $0$-深度是 $0$.
•	局部环 $(R,\mathfrak{m},k)$ 的模 $M$ 的深度是 $0$ 等价于剩余域 $k$ 可以嵌入 $M$, 于是也等价于 $\mathfrak{m}$ 是 $M$ 的结合素理想.

2性质

首先是一般性质.

命题 2.1. $R$ 是环, $M$ 是 $R$-模, $I$ 是 $R$ 的理想. 则对 $R/I$-模 $N$ 以及自然数 $i<{\mathrm{depth}}_I(M)$ 有 ${\mathrm{Ext}}_R^i(N,M)=0$.

证明. 把 $N$ 作 $R/I$-自由消解 $F_{\bullet }\to N$, 其中$$F_{\bullet }=\cdots \to F_1\to F_0$$各项是自由 $R/I$-模. 则有谱序列$$E_1^{p,q}={\mathrm{Ext}}_R^q(F_p,M)\Rightarrow {\mathrm{Ext}}_R^{p+q}(N,M).$$由于各 $F_p$ 是自由 $R/I$-模, ${\mathrm{Ext}}_R^q(F_p,M)$ 在 $q<{\mathrm{depth}}_I(M)$ 时为 $0$, 即得欲证.

$\square$

推论 2.2. $R$ 是环, $M$ 是 $R$-模, $I,J$ 是 $R$ 的理想.

•	如 $I\subseteq J$, 则 ${\mathrm{depth}}_I(M)\le {\mathrm{depth}}_J(M)$.
•	对 $n\in {\mathbb{Z}}_{+}$, ${\mathrm{depth}}_{I^n}(M)={\mathrm{depth}}_I(M)$.

特别地, 如 $I,J$ 有限生成且 $\sqrt{I}=\sqrt{J}$, 则 ${\mathrm{depth}}_I(M)={\mathrm{depth}}_J(M)$, 即此时它只依赖于 $V(I)\subseteq \mathrm{Spec}R$.

证明. 如 $I\subseteq J$, 则 $R/J$ 是 $R/I$-模, 由命题 2.1 立得结论.

对 $n\in {\mathbb{Z}}_{+}$, 由上一段首先有 ${\mathrm{depth}}_{I^n}(M)\le {\mathrm{depth}}_I(M)$. 另一方面, 对 $m=0,1,\dots ,n-1$, $I^m/I^{m+1}$ 都是 $R/I$-模, 故对 $i<{\mathrm{depth}}_I(M)$ 有 ${\mathrm{Ext}}_R^i(I^m/I^{m+1},M)=0$, 于是由 $\mathrm{Ext}$ 的长正合列即知 ${\mathrm{Ext}}_R^i(R/I^n,M)=0$, 所以也有 ${\mathrm{depth}}_{I^n}(M)\ge {\mathrm{depth}}_I(M)$.

$\square$

命题 2.3. $R\to R^{\prime }$ 是环同态, $I$ 是 $R$ 的理想, 记 $I^{\prime }=I{R}^{\prime }$. 则对 $R^{\prime }$-模 $M$ 有 ${\mathrm{depth}}_I(M)={\mathrm{depth}}_{I^{\prime }}(M)$.

证明. 由谱序列$$E_2^{p,q}={\mathrm{Ext}}_{R^{\prime }}^p({\mathrm{Tor}}_q^R(R^{\prime },R/I),M)\Rightarrow {\mathrm{Ext}}_R^{p+q}(R/I,M)$$以及每个 ${\mathrm{Tor}}_i^R(R^{\prime },R/I)$ 都是 $R^{\prime }/I^{\prime }$-模, 用命题 2.1 知$${\mathrm{Ext}}^i(R/I,M)=\{\begin{array}{ll}0,& i<{\mathrm{depth}}_{I^{\prime }}(M);\\ {\mathrm{Ext}}_{R^{\prime }}^i(R^{\prime }/I^{\prime },M),& i={\mathrm{depth}}_{I^{\prime }}(M);\end{array}$$此即欲证.

$\square$

命题 2.4 (局部化). $R$ 是 Noether 环, $I$ 是其理想, $S$ 是其乘性子集. 则对任意 $R$-模 $M$, ${\mathrm{depth}}_I(M)\le {\mathrm{depth}}_{S^{-1}I}(S^{-1}M).$

证明. 由于 $S^{-1}I=I(S^{-1}R)$, 用命题 2.3 知不等号右边等于 ${\mathrm{depth}}_I(S^{-1}M)$. 于是由 $S^{-1}M$ 是一些 $M$ 的滤余极限以及从 Noether 环有限生成模出发的 $\mathrm{Ext}$ 与滤余极限交换, 即得结论.

$\square$

下面我们将深度与正则序列联系起来.

引理 2.5. $R$ 是环, $M$ 是 $R$-模, $I$ 是 $R$ 的理想. 如 $r\in I$ 是 $M$ 的非零因子, 则 ${\mathrm{depth}}_I(M)={\mathrm{depth}}_I(M/rM)+1$.

证明. 首先 ${\mathrm{depth}}_I(M)>0$, 因为等于 $0$ 的话 $\mathrm{Hom}(R/I,M)\ne 0$ 说明 $I$ 中元素都是 $M$ 的零因子. 写短正合列$$0\to M\to M\to M/rM\to 0$$的 $\mathrm{Ext}$ 长正合列, 有$$\cdots \to {\mathrm{Ext}}_R^{i-1}(R/I,M)\to {\mathrm{Ext}}_R^{i-1}(R/I,M/rM)\to {\mathrm{Ext}}_R^i(R/I,M)\to {\mathrm{Ext}}_R^i(R/I,M)\to \cdots$$所以:

•	如 $i<{\mathrm{depth}}_I(M)$, 就有 ${\mathrm{Ext}}_R^{i-1}(R/I,M)={\mathrm{Ext}}_R^i(R/I,M)=0$, 从而 ${\mathrm{Ext}}_R^{i-1}(R/I,M/rM)=0$.
•	如 $i={\mathrm{depth}}_I(M)$, 就有 ${\mathrm{Ext}}_R^i(R/I,M)\ne 0$, 而 $r\in I$ 于是 ${\mathrm{Ext}}_R^i(R/I,M)$ 的自映射 “乘以 $r$” 是 $0$, 从而 ${\mathrm{Ext}}_R^{i-1}(R/I,M/rM)\ne 0$.

综上所述, ${\mathrm{depth}}_I(M)={\mathrm{depth}}_I(M/rM)+1$.

$\square$

定理 2.6. $R$ 是 Noether 环, $M$ 是其有限生成模. 则:

•	${\mathrm{depth}}_I(M)$ 是 $I$ 中 $M$-正则序列的最大长度.
•	$I$ 中任一 $M$-正则序列都能续至 ${\mathrm{depth}}_I(M)$ 的长度.

特别地, $I$ 中的极长 $M$-正则序列等长, 长度为 ${\mathrm{depth}}_I(M)$.

证明. 由引理 2.5, 只需证如 ${\mathrm{depth}}_I(M)>0$, $I$ 中就有 $M$ 的非零因子. ${\mathrm{depth}}_I(M)>0$ 无非是 $\mathrm{Hom}(R/I,M)=0$, 即 $M$ 中每个元素的零化子都不包含 $I$. 这说明 $M$ 的每个结合素理想都不包含 $I$. 由结合素理想的理论, $M$ 只有有限个结合素理想, 且并起来就是 $M$ 的零因子集. 故由素理想回避, $I$ 中有 $M$ 的非零因子.

$\square$

然后是一些估计.

命题 2.7 (被生成元个数控制). $R$ 是环, $I=(a_1,\dots ,a_n)$ 是其中 $n$ 元生成的理想. 则对任意 $R$-模 $M$, ${\mathrm{depth}}_I(M)$ 要么不超过 $n$, 要么是 $\infty$.

证明. 考虑 $a_1,\dots ,a_n$ 的 Koszul 复形 $K_{\bullet }$. 它是个由自由 $R$-模组成的链复形, 只在下标 $0,1,\dots ,n$ 非零; 它各阶同调都是 $R/I$-模, 且零阶同调是 $R/I$. 现设 ${\mathrm{depth}}_I(M)=\delta <\infty$. 则由谱序列$$E_2^{p,q}={\mathrm{Ext}}_R^p(H_q(K_{\bullet }),M)\Rightarrow {\mathrm{Ext}}_R^{p+q}(K_{\bullet },M)$$以及命题 2.1, $${\mathrm{Ext}}_R^i(K_{\bullet },M)=\{\begin{array}{ll}0,& i<\delta ;\\ {\mathrm{Ext}}_R^i(R/I,M),& i=\delta ;\end{array}$$另一方面, $K_{\bullet }$ 由自由 $R$-模组成, 故可直接计算$${\mathrm{Ext}}_R^i(K_{\bullet },M)=H^i({\mathrm{RHom}}_R(K_{\bullet },M)),$$只可能在 $i=0,1,\dots ,n$ 非零. 故 $\delta \le n$.

$\square$

引理 2.8. $(R,\mathfrak{m})$ 是 Noether 局部环, $M$ 是其上有限生成模. $r\in \mathfrak{m}$ 是 $M$ 的非零因子, $\mathfrak{p}\in \mathrm{Ass}(M)$. 设 $\mathfrak{q}$ 是包含 $\mathfrak{p}+(r)$ 的素理想中极小者. 则 $\mathfrak{q}\in \mathrm{Ass}(M/rM)$.

证明. 由结合素理想的定义, 可取 $N\subseteq M$, $N\cong R/\mathfrak{p}$. 用 Artin–Rees 引理取 $n\in \mathbb{N}$ 使得 $r^{n}M\cap N\subseteq rN$. 考虑 $N$ 在 $M/r^{n}M$ 中的像 $Q$, 则 $Q\cong \frac{N}{r^{n}M\cap N}$, 故 $N/rN$ 是 $Q$ 的商模. 而 $Q$ 显然是 $N/r^{n}N$ 的商模, 所以 $\mathrm{Supp}(Q)=\mathrm{Supp}(N/rN)=V(\mathfrak{p}+(r))$. 于是 $\mathfrak{q}$ 是 $\mathrm{Supp}(Q)$ 中极小素理想, 故属于 $\mathrm{Ass}(Q)$. 现由 $Q\subseteq M/r^{n}M$, 知 $\mathrm{Ass}(Q)\subseteq \mathrm{Ass}(M/r^{n}M)$. 最后, $r$ 是 $M$ 的非零因子, 故 $M/r^{n}M$ 有滤链, 每一项同构于 $M/rM$. 于是 $\mathrm{Ass}(M/r^{n}M)\subseteq \mathrm{Ass}(M/rM)$, 得到结论.

$\square$

定理 2.9. $(R,\mathfrak{m})$ 是 Noether 局部环, $M$ 是其上有限生成模. 则对任意 $\mathfrak{p}\in \mathrm{Ass}(M)$, $\mathrm{depth}(M)\le \dim R/\mathfrak{p}$. 特别地, 非零有限生成模的深度为有限.

证明. 对 $\delta =\mathrm{depth}(M)$ 归纳. $\delta =0$ 自不必证. 如 $\delta >0$, 由定理 2.6, 可取 $r\in \mathfrak{m}$ 是 $M$ 的非零因子, 则自然 $r\notin \mathfrak{p}$. 于是由维数理论, $\dim R/(\mathfrak{p}+(r))=\dim R/\mathfrak{p}-1$, 故可取素理想 $\mathfrak{q}$, 在 $\mathfrak{p}+(r)$ 上极小, $\dim R/\mathfrak{q}=\dim R/\mathfrak{p}-1$. 由引理 2.8, $\mathfrak{q}\in \mathrm{Ass}(M/rM)$; 由引理 2.5, $\mathrm{depth}(M/rM)=\mathrm{depth}(M)-1$; 二者结合, 由归纳假设即得结论.

$\square$

注 2.10. “Noether 局部环上非零有限生成模深度有限” 实际上比此命题容易得多. 直接的证明留作练习.

最后是变换基环时的性质.

命题 2.11. 设 $(R,\mathfrak{m},k)\to (S,\mathfrak{n},\ell )$ 是 Noether 局部环的局部同态, $M$ 是有限生成 $R$-模, $N$ 是有限生成 $S$-模, 在 $R$ 上平坦. 则$${\mathrm{depth}}_{\mathfrak{n}}(M{\otimes }_{R}N)={\mathrm{depth}}_{\mathfrak{m}}(M)+{\mathrm{depth}}_{\mathfrak{n}}(N/\mathfrak{m}N).$$

证明. 对等号右边归纳. 如等号右边为 $0$, 则由注 1.2, $k$ 可以嵌入 $M$, 且 $\ell$ 可以嵌入 $N/\mathfrak{m}N=k{\otimes }_{R}N$. 由于 $N$ 在 $R$ 上平坦, 这就说明 $\ell$ 可以嵌入 $M{\otimes }_{R}N$, 再次用注 1.2 即知等号左边也是 $0$.

如 ${\mathrm{depth}}_{\mathfrak{m}}(M)>0$, 取 $M$ 的非零因子 $r\in \mathfrak{m}$. 由于 $N$ 在 $R$ 上平坦, $r$ 在 $\mathfrak{n}$ 中的像是 $M{\otimes }_{R}N$ 的非零因子. 于是由引理 2.5 及归纳假设即得欲证.

如 ${\mathrm{depth}}_{\mathfrak{n}}(N/\mathfrak{m}N)>0$, 取 $N/\mathfrak{m}N$ 的非零因子 $s\in \mathfrak{n}$. 对映射 $s:N\to N$ 使用平坦模局部判别法的推论, 知 $s$ 是 $N$ 的非零因子, 且 $N/sN$ 在 $R$ 上平坦. 再对短正合列$$0\to N\to N\to N/sN\to 0$$作 $M{\otimes }_R-$, 知 $s$ 也是 $M{\otimes }_{R}N$ 的非零因子. 于是由引理 2.5 及归纳假设即得欲证.

$\square$

3例子

•	Cohen–Macaulay 模的深度等于其 Krull 维数.
•	Noether 局部环 $(R,\mathfrak{m})$ 上有限生成模 $M$ 的深度是 $0$ 当且仅当 $\mathfrak{m}\in {\mathrm{Ass}}_R(M)$. 一个例子是 $R=k[[x,y]]/(x^2,xy)$, $M=R$, 此时 $\mathfrak{m}={\mathrm{Ann}}_R(x)\in {\mathrm{Ass}}_R(M)$. 此例中 $\dim R=1$, $\mathrm{depth}(R)<\dim R$.

4推广

深度可推广至链复形.

定义 4.1. $R$ 是环, $C\in \mathsf{D}(R)$, $I$ 是 $R$ 的理想. 则 $C$ 的 $\mathbf{I}$-深度, 记作 ${\mathrm{depth}}_I(C)$, 定义为$$\inf \{i\in \mathbb{Z}\mid {\mathrm{Ext}}_R^i(R/I,C)\ne 0\},$$它可以是 $-\infty$、整数、$+\infty$. 当 $(R,\mathfrak{m})$ 是局部环时, $C$ 的深度指的是 $C$ 的 $\mathfrak{m}$-深度, 此时也在记号中省略 $\mathfrak{m}$.

它与局部上同调密切相关:

命题 4.2. $R$ 是环, $I$ 是其有限生成理想, $C\in \mathsf{D}(R)$. 则$${\mathrm{depth}}_I(C)=\inf \{i\in \mathbb{Z}\mid H_I^i(C)\ne 0\}.$$特别地, 此时 $I$-深度只依赖零点集 $V(I)\subseteq \mathrm{Spec}R$.

证明. 要证对任意 $d\in \mathbb{Z}$, $\mathrm{RHom}(R/I,C)\in {\mathsf{D}}^{\ge d}(R)$ 当且仅当 $R{\Gamma }_I(C)\in {\mathsf{D}}^{\ge d}(R)$. 平移可不妨设 $d=0$. 现如 $R{\Gamma }_I(C)\in {\mathsf{D}}^{\ge 0}(R)$, 则由 $R/I$ 是挠复形, 用伴随性知 $\mathrm{RHom}(R/I,C)=\mathrm{RHom}(R/I,R{\Gamma }_I(C))\in \mathrm{RHom}({\mathsf{D}}^{\le 0}(R),{\mathsf{D}}^{\ge 0}(R))={\mathsf{D}}^{\ge 0}(R)$. 另一方面如 $\mathrm{RHom}(R/I,C)\in {\mathsf{D}}^{\ge 0}(R)$, 则:

•	把任意 $N\in {\mathsf{D}}^{\le 0}(R/I)$ 作 $R/I$-自由消解, 知 $\mathrm{RHom}(N,C)\in {\mathsf{D}}^{\ge 0}(R)$;
•	对任一 $n\in {\mathbb{Z}}_{+}$, 把任意 $N\in {\mathsf{D}}^{\le 0}(R/I^n)$ 拆成各项商属于 ${\mathsf{D}}^{\le 0}(R/I)$ 的滤链, 知 $\mathrm{RHom}(N,C)\in {\mathsf{D}}^{\ge 0}(R)$;
•	最后写 $I=(a_1,\dots ,a_m)$, 由于对任一 $n\in {\mathbb{Z}}_{+}$, Koszul 复形 $\mathrm{Kos}(a_1^n,\dots ,a_m^n)\in {\mathsf{D}}^{\le 0}(R/I^{mn})$, 知$$R{\Gamma }_I(C)=\underset{n}{\mathrm{colim}}\mathrm{RHom}(\mathrm{Kos}(a_1^n,\dots ,a_m^n),C)\in {\mathsf{D}}^{\ge 0}(R).$$ $\square$

5相关概念

•	正则序列
•	Cohen–Macaulay 模
•	奇迹平坦
•	内射维数
•	Auslander–Buchsbaum 公式

术语翻译

深度 • 英文 depth • 德文 Tiefe (f) • 法文 profondeur (f) • 拉丁文 profundum (n) • 古希腊文 βάθος (n)