整闭整环

在交换代数中, 整闭整环是指整环 $A$, 它在其分式域 $K$ 中的整闭包是其自身. 换言之, $A$ 上任何首一多项式在 $K$ 中的根必落在 $A$ 中.

例如, $\mathbb{Z}$ 是整闭整环, 因为任何整系数首一多项式的有理解必为整数.

从几何上看, 说交换环 $A$ 是整闭整环, 是说其素谱 $\mathrm{Spec}A$ 是连通的正规概形, 即大致而言, 它在除了一个余维数至少为 $2$ 的闭集之外都正则.

1例子

•	所有唯一分解整环都是整闭整环. 特别地, 所有主理想整环都是整闭整环.

•	所有 Dedekind 整环都是整闭整环.

•	域 $k$ 上结点曲线 $y^2=x^3+x^2$ 的函数环 $A=k[x,y]/(y^2-x^3-x^2)$ 是整环, 但不是整闭整环. 例如, 考虑 $A$ 的分式域 $K$ 中的元素 $f=y/x$, 它是关于 $f$ 的首一多项式方程 $f^2=x+1$ 的解, 并且不难验证 $f\notin A$. 直观来看, $f$ 是 $\mathrm{Spec}A\setminus \{0\}$ 上给出每个点与原点连线的斜率的函数, 但它无法延拓到整个曲线 $\mathrm{Spec}A$ 上, 因为否则它需要同时取值 $\pm 1$.

2相关概念

术语翻译

整闭整环 • 英文 integrally closed domain • 德文 normaler Integritätsbereich (m) • 法文 anneau intégralement clos (m) • 日文 整閉整域 (せいへいせいいき)